Bài 1. Bất đẳng thức

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

\(\begin{array}{l}a)\,3,25 < 4\\b)\, - 5 >  - 4\dfrac{1}{4}\\c)\, - \sqrt 2  \le 3\end{array}\)

Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào chỗ trống ta được một mệnh đề đúng.

\(\begin{array}{l}a)\,2\sqrt 2 ...3;\\b)\,\dfrac{4}{3}...\dfrac{2}{3};\\c)\,3 + 2\sqrt 2 ...{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\end{array}\)

\(d)\,{a^2} + 1...0\) với \(a\) là một số đã cho.

Chứng minh rằng \(a < b ⇔ a – b < 0.\)

Nêu ví dụ áp dụng một trong các tính chất trên.

Hãy chứng minh hệ quả 3.

Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các số sau:

\(\begin{array}{l}a)\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,1,25\\c)\, - \dfrac{3}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\, - \pi \end{array}\)

 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của \(x\)?

a) \(8x > 4x\);                                          

b) \(4x > 8x\);

c) \(8x^2> 4x^2\);                                         

d) \(8 + x > 4 + x\).

Cho số \(x > 5\), số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

\(A=\dfrac{5}{x};\)                  \(B=\dfrac{5}{x}+1;\)        

\(C=\dfrac{5}{x}-1;\)           \(D=\dfrac{x}{5}.\)

Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh \((b-c)^2< a^2\);

b) Từ đó suy ra \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\).

 Chứng minh rằng: 

\({x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\), \(∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0\).

Chứng minh rằng

\(x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trên các tia \(Ox, Oy\) lần lượt lấy các điểm \(A\) và \(B\) thay đổi sao cho đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với đường tròn tâm \(O\) bán kính \(1\). Xác định tọa độ của \(A\) và \(B\) để đoạn \(AB\) có độ dài nhỏ nhất.