Bài 1. Các hàm số lượng giác

Bài 1. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

a. \(y = \sqrt {3 - \sin x} \) ;                                                                

b.  \(y = {{1 - \cos x} \over {\sin x}}\)

c. \(y = \sqrt {{{1 - \sin x} \over {1 + \cos x}}} \)                                                                 

d. \(y = \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\) 

Bài 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau :

a. \(y = -2\sin x\)

b. \(y = 3\sin x – 2\)

c. \(y=\sin x – \cos x\)

d. \(y = \sin x\cos^2 x+ \tan x\)

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau :

a.  \(y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3\)

b.  \(y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\)

c.  \(y = 4\sin \sqrt x \)

Bài 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao ?

a. Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \sin x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến.

b. Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \sin^2 x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cos^2 x\) nghịch biến.

Bài 6. Cho hàm số \(y = f(x) = 2\sin 2x\)

a. Chứng minh rằng với số nguyên \(k\) tùy ý, luôn có \(f(x + kπ) = f(x)\) với mọi \(x\).

b. Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = 2\sin 2x\) trên đoạn  \(\left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right].\)

c. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = 2\sin 2x\).

Bài 7. Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau :

a.  \(y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\)

b.  \(y = \tan \left| x \right|\)

c.  \(y = \tan x - \sin 2x.\)

Bài 8. Cho các hàm số sau :

a. \(y = - {\sin ^2}x\)

b.  \(y = 3{\tan ^2}x + 1\)

c. \(y = \sin x\cos x\)

d.  \(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\)

Chứng minh rằng mỗi hàm số \(y = f(x)\) đó đều có tính chất :

\(f(x + kπ) = f(x)\) với \(k \in\mathbb Z\), \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(f\).

Bài 10. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình \(y = {x \over 3}\) với đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn  \(\sqrt {10} \)

Bài 11. Từ đồ thị của hàm số \(y = \sin x\), hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó : a. \(y = -\sin x\) b. \(y = \left| {\sin x} \right|\) c. \(y = \sin|x|\)

a. \(y = -\sin x\)

b.  \(y = \left| {\sin x} \right|\)

c. \(y = \sin|x|\)

Bài 12. a. Từ đồ thị của hàm số \(y = \cos x\), hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó :

\(y = \cos x + 2\)

\(y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\)

b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?

Bài 13. Xét hàm số  \(y = f\left( x \right) = \cos {x \over 2}\)

a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \(k\), \(f(x + k4π) = f(x)\) với mọi \(x\).

b. Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = \cos {x \over 2}\) trên đoạn \([-2π ; 2π]\).

c. Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \cos {x \over 2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxy\).

d. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét phép biến hình \(F\) biến mỗi điểm \((x ; y)\) thành điểm \((x'; y')\) sao cho \(x'= 2x\) và \(y'= y\). Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị của hàm số  \(y = \cos {x \over 2}.\)