Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Một đoàn tàu chuyển động khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là s = t².

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; t_o] với t_o = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99.

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng gần t_o = 3.

Cho hàm số y = x². Hãy tính y'(x_o) bằng định nghĩa.

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = \({{{x^2}} \over 2}\)

b) Tính f’(1).

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M(1; \({1 \over 2}\)) và có hệ số góc bằng f’(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

Cho hàm số y = -x² + 3x – 2. Tính y’(2) bằng định nghĩa.

Viết phương trình đường thẳng đi qua M_o(x_o; y_o) và có hệ số góc k.

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) f(x) = x² tại điểm x bất kì;

b) g(x) = \({1 \over x}\) tại điểm bất kì x ≠ 0.

Tìm số gia của hàm số \(f(x) =  x^3\), biết rằng:

a) \(x_0 = 1; ∆x = 1\)

b) \(x_0= 1; ∆x = -0,1\)

Tính \(∆y\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}}\) của các hàm số sau theo \(x\) và \(∆x\) :

a) \(y = 2x - 5\);      b) \(y = x^2- 1\);

c) \(y = 2x^3\);          d) \(y = {1 \over x}\).

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) \(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\);

b) \(y =  \dfrac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\);

c) \(y = \dfrac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\).

Chứng minh rằng hàm số 

\[f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr 
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\]

không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = x^3\):

a) Tại điểm có tọa độ \((-1;-1)\);

b) Tại điểm có hoành độ bằng \(2\);

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(3\).

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y =  \dfrac{1}{x}\):

a) Tại điểm \((  \dfrac{1}{2} ; 2)\)

b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\);

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( -\dfrac{1}{4}\).

Một vật rơi tự do theo phương trình \(s = {1 \over 2}g{t^2}\) , trong đó \(g ≈ 9,8\) m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến \(t + ∆t\), trong các trường hợp \(∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\).

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5s\).