Bài 1: Giới hạn của dãy số

Đề bài

a) Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết \(\lim {u_n} =  - \infty \) và \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy  (v_n) khi \(n \to  + \infty \) ?

b) Tìm v_n với \({v_n} =  - n!\)

Đề bài

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(\displaystyle n \to  + \infty \)

a) \(\displaystyle {a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\) ;

b) \(\displaystyle {b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\) ;

c) \(\displaystyle {c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}\) ;

d) \(\displaystyle {u_n} = {2^n} + {1 \over n}\) ;

e) \(\displaystyle {v_n} = {\left( { - {{\sqrt 2 } \over \pi }} \right)^n} + {{{3^n}} \over {{4^n}}}\) ;

f) \(\displaystyle {u_n} = {{{3^n} - {4^n} + 1} \over {{{2.4}^n} + {2^n}}}\) ;

g) \(\displaystyle {v_n} = {{\sqrt {{n^2} + n - 1}  - \sqrt {4{n^2} - 2} } \over {n + 3}}\) ;

Đề bài

Tính các giới hạn sau :

a) \(\lim \left( {{n^2} + 2n - 5} \right)\) ;

b) \(\lim \left( { - {n^3} - 3{n^2} - 2} \right)\) ;

c) \(\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { - 2} \right)}^n}} \right]\) ;

Đề bài

Cho dãy số \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi công thức truy hồi

\(\displaystyle \left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng \(\displaystyle \left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(\displaystyle n\to +\infty \). Tìm giới hạn đó.