Bài 1. Khái niệm đạo hàm

Tìm số gia của hàm số \(y = {x^2} - 1\) tại điểm x₀ = 1 ứng với số gia ∆x, biết

a. ∆x = 1

b. ∆x = -0,1.

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀

a. \(y = 2x + 1,{x_0} = 2\)

b. \(y = {x^2} + 3x,{x_0} = 1\)

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ (a là hằng số).

a. \(y = ax + 3\)

b. \(y = {1 \over 2}a{x^2}\)

Cho parabol y = x² và hai điểm A(2 ; 4) và B(2 + ∆x ; 4 + ∆y) trên parabol đó.

a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết ∆x lần lượt bằng 1 ; 0,1 và 0,01.

b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3},\) biết

a. Tiếp điểm có hoành độ bằng -1

b. Tiếp điểm có tung độ bằng 8

c. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(S = {1 \over 2}g{t^2},\) trong đó \(g = 9,8m/{s^2}\) và t được tính bằng giây (s).

a. Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + ∆t với độ chính xác 0,001, biết t = 5 và ∆t lần lượt bằng 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

b. Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5.

Tìm đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^5}\) trên \(\mathbb R\) rồi suy ra \(f'\left( { - 1} \right),f'\left( { - 2} \right)\,\text{ và }\,f'\left( 2 \right)\)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau trên R.

a. \(y = a{x^2}\) (a là hằng số)

b. \(y = {x^3} + 2\)

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau :

a. \(y = {1 \over {2x - 1}}\,\text{ với }\,x \ne {1 \over 2}\)

b. \(y = \sqrt {3 - x} \) với \(x < 3\).

a. Tính \(f’(3)\) và \(f’(-4)\) nếu \(f(x) = {x^3}\)

b. Tính \(f’(1)\) và \(f’(9)\) nếu \(f\left( x \right) = \sqrt x \)

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại điểm x₀ và đồ thị (G). Mệnh đề sau đây đúng hay sai ?

a. Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì tiếp tuyến của (G) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành.

b. Nếu tiếp tuyến của G tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) song song với trục hoành thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) .

Hình 5.4 là đồ thị của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b). Biết rằng tại các điểm M₁, M₂ và M₃, đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhận xét về dấu của \(f'\left( {{x_1}} \right),f'\left( {{x_2}} \right)\,va\,f'\left( {{x_3}} \right)\)

Chứng minh rằng để đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \(\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\), điều kiện cần và đủ là

\(\left\{ {\matrix{   {a = f'\left( {{x_0}} \right)}  \cr   {a{x_0} + b = f\left( {{x_0}} \right)}  \cr } } \right.\)

Cho hàm số \(y = \left| x \right|\)

a. Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0

b. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.

c. Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm x₀ thì có đạo hàm tại x₀ ” đúng hay sai ?

Hình 5.5 là đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b). Dựa vào hình vẽ, hãy cho biết tại mỗi điểm x₁, x₂, x₃ và x₄ :

a. Hàm số có liên tục hay không ?

b. Hàm số có đạo hàm hay không ? Hãy tính đạo hàm nếu có.