Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Một hình nón tròn xoay có đỉnh là \(D\), tâm của đường tròn đáy là \(O\), đường sinh bằng \(l\) và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng \(\alpha \).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.

b) Gọi \(I\) là một điểm trên đường cao \(DO\) của hình nón sao cho \(\dfrac{{DI}}{{DO}} = k(0 < k < l)\). Tính diện tích thiết diện qua \(I\) và vuông góc với trục của hình nón.

Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng \(a\).

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón đó.

b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính diện tích thiết diện được tạo nên.

Cho \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng \(a\) và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là \(\alpha \). Hình nón đỉnh \(S\) có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều \(ABC\) gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo \(a \) và \(\alpha \).

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao \( SO = h\) và góc \(\widehat {SAB} = \alpha (\alpha  > {45^0})\). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh \(S\) và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\) của hình chóp.

Chứng minh rằng trong một khối nón tròn xoay, góc ở đỉnh là góc lớn nhất trong số các góc được tạo nên bởi hai đường sinh của khối nón đó.

Cho khối nón có bán kính đáy \(r = 12 cm\) và có góc ở đỉnh là \(\alpha  = {120^0}\). Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.

Cho mặt phẳng (P). Gọi A là một điểm nằm trên (P) và B là một điểm nằm ngoài (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) không trùng với A. Một điểm M chạy trên mặt phẳng  (P) sao cho góc \(\widehat {ABM} = \widehat {BMH}\) . Chứng minh rằng  điểm M luôn luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB.

Cho mặt trụ tròn xoay \((\Im )\) và một điểm S cố định nằm ngoài \((\Im )\). Một đường thẳng d thay đổi luôn luôn đi qua S cắt \((\Im )\) tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng AB luôn luôn nằm trên một mặt trụ xác định.

Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng \(r\sqrt 3 \).

Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.

b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.

c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.

Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao \(h = r\sqrt 2 \) . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.

a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này.

b) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua AB và song song với  OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng \((\alpha )\).

c) Chứng minh rằng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt trụ trục OO’ có bán kính bằng \({{r\sqrt 2 } \over 2}\) dọc theo một đường sinh.

Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.

Hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = SB = SC = a và có góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng \(\alpha \). Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp. Các mặt bên SAB , SBC , SCA cắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào?