Bài 1. Nguyên hàm
Bài Tập và lời giải
Tìm hàm số \(F(x)\) sao cho \(F’(x) = f(x) \) nếu:
a) \(f(x)=3x^2\) với \(x ∈ (-∞; +∞)\);
b) \(\displaystyle f(x) = {1 \over {{{\cos }^2 x}}}\,\,;\,\,x \in ({{ - \pi } \over 2};{\pi \over 2})\)
Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.
Lập bảng theo mẫu dưới đây rồi dùng bảng đạo hàm trang 77 và trong SGK Đại số và Giải tích 11 để điền vào các hàm số thích hợp vào cột bên phải.
|
\(f'\left( x \right)\) |
\(f\left( x \right) + C\) |
|
\(0\) |
|
|
\(\alpha {x^{\alpha - 1}}\) |
|
|
\(\dfrac{1}{x}\) |
|
|
\({e^x}\) |
|
|
\({a^x}\ln a\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) |
|
|
\(\cos x\) |
|
|
\( - \sin x\) |
|
|
\(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) |
|
|
\( - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) |
|
a) Cho \(\smallint {\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{10}}dx\). Đặt \(u = x – 1\), hãy viết \({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)^{10}}dx\) theo \(u\) và \(du\).
b) \(\displaystyle \int {{{\ln x} \over x}} dx\). Đặt \(x=e^t\), hãy viết \(\displaystyle\int {{{\ln x} \over x}} dx\) theo \(t\) và \(dt\)
Ta có: \(\left( {xcosx} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}cosx{\rm{ }}-{\rm{ }}xsinx \) hay \( - {\rm{ }}xsinx{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {xcosx} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}cosx.\)
Hãy tính: \(\smallint {\rm{ }}\left( {xcosx} \right){\rm{ }}dx\) và \(\smallint {\rm{ }}cosxdx\)
Từ đó tính \(\smallint {\rm{ }}xsinxdx.\)
Cho \(P(x)\) là đa thức của \(x\). Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền \(u\) và \(dv\) thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.
|
|
\(\int {P\left( x \right){e^x}dx} \) |
\(\int {P\left( x \right)\cos xdx} \) |
\(\int {P\left( x \right)\ln xdx} \) |
|
\(u\) |
\(P\left( x \right)\) |
|
|
|
\(dv\) |
\({e^x}dx\) |
|
|
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?
a) \(e^{-x}\) và \(- e^{-x}\); b) \(\sin 2x\) và \(\sin^2x\)
c) \((1-\dfrac{2}{x})^{2}e^{x}\) và \((1-\dfrac{4}{x})e^{x}\)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
a) \(f(x) = \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\);
b) \( f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{e^{x}}\)
c) \(f(x) = \dfrac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\);
d) \(f(x) = sin5x.cos3x\)
e) \(f(x) = tan^2x\) g) \(f(x) = e^{3-2x}\)
h) \(f(x) =\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;
Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
a) \(∫{(1-x)}^9dx\) (đặt \(u =1-x\) ) ;
b) \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\) )
c) \(∫cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))
d) \(\int \dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) (đặt \(u= e^x+1\))
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) \(∫x\ln (1+x)dx\);
b) \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx}\)
c) \(∫x\sin(2x+1)dx\);
d) \(\int (1-x)\cos xdx\)
