Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3ⁿ < n + 100” và Q(n): “2ⁿ > n" với n ∈ N*.

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Chứng minh rằng với n ∈ N* thì

\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = {{n(n + 1)} \over 2}\)

Chứng minh rằng với \(n \in {\mathbb N}^*\), ta có đẳng thức:

a) \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\dfrac{n(3n+1)}{2}\)

b) \( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}\);

c) \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}\) \(= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Chứng minh rằng với \(n\in {\mathbb N}^*\)    ta luôn có:

a) \({n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n\) chia hết cho \(3\);

b) \({4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1\) chia hết cho \(9\);

c) \({n^3} + {\rm{ }}11n\) chia hết cho \(6\).

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:

a) \(3^n> 3n + 1\);      b) \(2^{n+1} > 2n + 3\)

Cho tổng \(\displaystyle{S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n(n + 1)}}\) với \(n\in {\mathbb N}^*\).

a) Tính \({S_1},{S_2},{S_3}\)

b) Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \(\displaystyle {{n(n - 3)} \over 2}\)