Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2};\)

b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )

a) \({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3};\)

b) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}.\)

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*},\)ta có

a) \(2{n^3} - 3{n^2} + n\) chia hết cho \(6\).

b) \({11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\) chia hết cho \(133\).

Đề bài

Chứng minh các bất đẳng thức sau (\(n \in N*\))

a) \({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};\)

b) \({\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1.\)

Đề bài

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) \({2^n} > 2n + 1\) ;

b) \({2^n} > {n^2} + 4n + 5\) ;

c) \({3^n} > {2^n} + 7n\) ?

Đề bài

Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}.\)

a) Tính \({S_1},S{_2},{S_3},{S_4}\) ;

b) Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Đề bài

Xét mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\):”\({10^{n - 1}} < n + 2017\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)”. Bằng phép thử ta có \(P\left( 1 \right),P\left( 2 \right),P\left( 3 \right),P\left( 4 \right)\) là đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số chẵn \(n \le 4\)

B. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số lẻ \(n \le 4\)

C. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số \(n\)

D. \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số \(n \le 4\)

Đề bài

Đặt \({S_n} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{n\,dau\,can}\). Giả sử hệ thức \({S_n} = 2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\) là đúng với \(n = k \ge 1\). Để chứng minh hệ thức trênn cũng đúng với \(n = k + 1\), ta phải chứng minh \({S_{k + 1}}\) bằng:

A. \({S_n} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } }_{k + 1\,dau\,can}\)

B. \(2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)

C. \(2\cos \dfrac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\)

D. \(\sqrt {2 + {S_k}} \)