Bài 1. Số phức

Bài 1

Cho các số phức

                          \(2 + 3i; 1 + 2i; 2 – i\)

a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.

b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

Bài 2 

Xác định phần thực và phần thực của các số sau:

a) \(i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)\);                                   

b) \({\left( {\sqrt 2  + 3i} \right)^2}\)

c) \(\left( {2 + 3i} \right)\left( {2 - 3i} \right)\);                                           

d) \(i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right)\).

Bài 3

Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ \(O\) trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Bài 4

Thực hiện phép tính: \({1 \over {2 - 3i}}\); \({1 \over {{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i}}\); \({{3 - 2i} \over i}\); \({{3 - 4i} \over {4 - i}}\)

Bài 5

Cho \(z =  - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i.\)

Hãy tính \({1 \over z}\); \(\overline z \); \({z^2}\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1 + z + {z^2}\).

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right);\)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  - \overline z ;\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} ,\,\overline {zz'}  = \overline z .\,\overline {z'} \), và nếu \(z \ne 0\) thì \({{\overline {z'} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} \).

Bài 7

Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(m > 0\), ta có:

           \({i^{4m}} = 1\); \({i^{4m + 1}} = i\); \({i^{4m + 2}} =  - 1\); \({i^{4m + 3}} =  - i\)

Bài 8. Chứng minh rằng:
a)) Nếu vec tơ \(\overrightarrow u \) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\), và từ đó nếu các điểm \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|;\)

b) Với mọi số phức z, z', ta có \(\left| {zz'} \right| = \left| z \right|\left| {z'} \right|\) và khi \(z \ne 0\) thì \(\left| {{{z'} \over z}} \right| = {{|z'|} \over {|z|}};\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(|z + z'| \le |z| + |z'|.\)

Bài 9

 Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(\left| {z - i} \right| = 1\)                     b) \(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1\)                     

c) \(\left| z \right| = \left| {\overline z  - 3 + 4i} \right|\)

Bài 10

Chứng minh rằng với mọi số phức \(z \ne 1\), ta có: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = {{{z^{10}} - 1} \over {z - 1}}\).

Bài 11

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\);              

\({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\);                  

\({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(z^2\) là số thực âm;

b  \(z^2\) là là số ảo;

c) \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\);

d) \({1 \over {z - i}}\) là số ảo.

Bài 13

Giải các phương trình sau (với ẩn z)

a) \(iz + 2 - i = 0\);                                    

b) \(\left( {2 + 3i} \right)z = z - 1\);

c) \(\left( {2 - i} \right)\overline z  - 4 = 0\);                              

d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\overline z  - 2 + 3i} \right) = 0\);

e) \({z^2} + 4 = 0\);

Bài 14

a) Cho số phức \(z=x+yi\) . Khi \(z \ne i\), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \({{z + i} \over {z - i}}\)

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \({{z + i} \over {z - i}}\) là số thực dương.

Bài 15

a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\). Hỏi trọng tâm của tam giác \(ABC\) biểu diễn số phức nào?

b) Xét ba điểm \(A, B, C\)) của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\).

Chứng minh rằng \(A, B, C\) là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi \({z_1} + {z_2} + {z_3} = 0\)

Bài 16. Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn  số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức \(z'\ne0\) và B' biểu diễn số phức zz'.

Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?