Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\displaystyle \left[ {{{ - \pi } \over 2};\,{{3\pi } \over 2}} \right]\) và các hàm số \(\displaystyle y = \left| x \right|\) trên khoảng \(\displaystyle \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

a) \(y\, = \,{{ - {x^2}} \over 2}\) (H.4a)      

b) \(y\, = \,{1 \over x}\) (H.4b)

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng.

Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên \(K\) thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không ?

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = 4 + 3x - x^2\);

b) \(y ={1 \over 3}x^3\) + \(3x^2-7x - 2\);

c) \(y = x^4\) - \(2x^2\) +\( 3\);

d) \(y = -x^3\)+ \(x^2\) - \(5\).

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a)  \(y=\dfrac{3x+1}{1-x}\) ;       b) \(y=\dfrac{x^{2}-2x}{1-x}\) ;

c) \(y=\sqrt{x^{2}-x-20}\) ;   d) \(y=\dfrac{2x}{x^{2}-9}\).

Chứng minh rằng hàm số \(y=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right).\)

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;\ 2 \right).\)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\tan x>x\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)

b) \(\tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ \ \left( 0<x<\frac{\pi }{2} \right).\)