Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\)        b) \(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\)

c) \(y = x + {3 \over x}\)                      d) \(y = x - {2 \over x}\)

e) \(y = {x^4} - 2{x^2} - 5\)          f) \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \)

Bài 2. Chứng minh rằng:

a) Hàm số \(y = {{x - 2} \over {x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

b)Hàm số \(y = {{ - {x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Bài 3. Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb R\):

a) \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 17x + 4;\) 

b) \(f\left( x \right) = {x^3} + x - \cos x - 4\)

Bài 4. Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Bài 6. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) \(y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\) 

b) \(y =  - {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - {2 \over 3}\)

c) \(y = {{{x^2} - 8x + 9} \over {x - 5}}\)             

d) \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \)

e) \(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \) 

f) \(y = {1 \over {x + 1}} - 2x\)

Bài 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0,\sin x > x\) với mọi \(x < 0\)

b) \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\)

c) \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x > 0\); \(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x<0\).

Bài 9. Chứng minh rằng: \(\sin x + \tan x > 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\).

Bài 10. Số dân của một thị trấn sau \(t\) năm kể từ năm \(1970\) được ước tính bởi công thức: \(f\left( t \right) = {{26t + 10} \over {t + 5}},f\left( t \right)\) được tính bằng nghìn người).

a) Tính số dân của thị trấn vào năm \(1980\) và năm \(1995\).

b) Xem \(f\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\,\). Tính \(f'\) và xét chiều biến thiên của hàm số \(f\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\,\)

c) Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn ( tính bằng nghìn người/năm).

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm \(1990\) và năm \(2008\) của thị trấn.

• Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là \(0,125\) nghìn người/năm?