a) Ta có:
+) Sau chu kì thứ nhất, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{2}\).
+) Sau chu kì thứ hai, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^2}\).
+) Sau chu kì thứ ba, lượng chất phóng xạ còn \(\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^3}\).
Do đó \(u_1=\dfrac{1}{2}\); \(u_2= \dfrac{1}{2^2}\); \(u_3=\dfrac{1}{2^3}\); ... .
Từ đó ta dự đoán công thức \(u_n=\dfrac{1}{2^{n}}\) \(\forall n \ge 1\).
Điều này chứng minh đơn giản bằng quy nạp.
Hiển nhiên công thức trên đúng với \(n=1\).
Giả sử công thức đúng với mọi \(k \ge 1\), tức là có \(u_k=\dfrac {1} {2^k}\), ta chứng minh công thức đó đúng với mọi \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(u_{k+1}=\dfrac {1} {2^{k+1}}\).
Ta có \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k}}}{2} = \dfrac{1}{{{2^k}}}:2 = \dfrac{1}{{{2^k}}}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{{2^{k + 1}}}}\)
Vậy \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}}\,\,\forall n \in {N^*}\).
b) \(\displaystyle \lim {u_n} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\).
c) Đổi \(10^{-6}g = \dfrac{1}{10^{6}} . \dfrac{1}{10^{3}}kg = \dfrac{1}{10^{9}} kg\).
Để chất phóng xạ sẽ không còn độc hại, ta cần tìm n để \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}} < \dfrac{1}{{{{10}^9}}} \Leftrightarrow {2^n} > {10^9} \Leftrightarrow n \ge 30\)
Nói cách khác, sau chu kì thứ \(30\) (nghĩa là sau \(30.24000 = 720000\) (năm)), chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại.
