Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

 a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}36x{\rm{ }}-{\rm{ }}10\) ;

b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3\) ;

c) \(y = x + {1 \over x}\)

d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)^{2}}\);

 e) \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1}\)

Lời giải

a) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 6{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} - 36;y' = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2\Rightarrow {y = - 54}  \hfill \cr
x = - 3 \Rightarrow  {y = 71} \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\begin{array}{l}y' < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 3;2} \right)\\y' > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = -3\) và  \(y\) \(= 71\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \(y\)CT \(= -54\)

b) Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(y' = 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left( {{x^2} + 1} \right)\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\Rightarrow {y =  - 3}\)

\(\begin{array}{l}y' > 0 \Rightarrow x > 0\\y' < 0 \Rightarrow x < 0\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \(y\)CT \(= -3\)

c) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)\ { 0 }

\(\eqalign{
& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};y' = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \Rightarrow {y = 2}  \hfill \cr
x = - 1 \Rightarrow {y = - 2}  \hfill \cr} \right. \cr}\)

\(\begin{array}{l}y' < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)\\y' > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty \)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\), \(y\) \(= -2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)CT  \(= 2\)

d) Tập xác định \(D = \mathbb R\)

\( y' = 3{{\rm{x}}^2}{\left( {1 - x} \right)^2} - 2{{\rm{x}}^3}\left( {1 - x} \right) \)

\(= {x^2}\left( {1 - x} \right)\left( {3 - 5{\rm{x}}} \right)\)

\(\eqalign{
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\Rightarrow {y = 0}  \hfill \cr
x = {3 \over 5}\Rightarrow  {y = {{108} \over {3125}}}  \hfill \cr
x = 0 \Rightarrow {y = 0}\hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\begin{array}{l}y' < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{3}{5};1} \right)\\y' > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\frac{3}{5}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = {3 \over 5};y = {{108} \over {3125}}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)CT =\( 0\)

e) Vì  \(x^2\) –\( x + 1 > 0, ∀  ∈ \mathbb R\) nên tập xác định : \(D = \mathbb R\)

\(y' = {{2{\rm{x}} - 1} \over {2\sqrt {{x^2} - x + 1} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\Rightarrow {y = {{\sqrt 3 } \over 2}}\)

\(\begin{array}{l}y' > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2};\,\,y' < 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {1 \over 2};{y_{CT}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)


Bài Tập và lời giải

Bài 4.1 trang 12 SBT Vật lí 8

Đề bài

Khi chỉ có một lực tác dụng lên vật thì vận tốc của vật sẽ như thế nào ?

A. Không thay đổi.  

B. Chỉ có thể tăng dần.

C. Chỉ có thể giảm dần.

D. Có thể tăng dần và cũng có thể giảm dần.

Xem lời giải

Bài 4.2 trang 12 SBT Vật lí 8
Nêu hai ví dụ chứng tỏ lực làm thay đổi vận tốc, trong đó một ví dụ lực làm tăng vận tốc, một ví dụ lực làm giảm vận tốc.

Xem lời giải

Bài 4.3 trang 12 SBT Vật lí 8
Điền từ thích hợp vào chỗ trống :Khi thả vật rơi, do sức .......... vận tốc của vật .............Khi quả bóng lăn vào bãi cát, do ............ của cát nên vận tốc của bóng bị .............

Xem lời giải

Bài 4.4 trang 12 SBT Vật lí 8

Đề bài

Diễn tả bằng lời các yếu tố của các lực vẽ ở hình sau đây (H.4.1a, b)

Xem lời giải

Bài 4.5 SBT trang 12 SBT Vật lí 8

Đề bài

Biểu diễn các vectơ lực sau đây :

- Trọng lực của một vật \(1500N\) (tỉ xích tùy chọn).

- Lực kéo một xà lan là \(2000N\) theo phương ngang, chiều từ trái sang phải, tỉ xích \(1cm\) ứng với \(500N\).

Xem lời giải

Bài 4.6 trang 12 SBT Vật lí 8
Khi bắn tên, dây cung tác dụng lên mũi tên lực \(F = 100N\). Lực này được biểu diễn bằng vectơ lực \(F\), với tỉ xích \(0,5cm\) ứng với \(50N\). Trong \(4\) hình sau \((H.4.2)\), hình nào vẽ đúng lực \(F\)?

Xem lời giải

Bài 4.7 trang 13 SBT Vật lí 8

Đề bài

Một ô tô đang chuyển động thẳng đều với vận tốc \(v\). Nếu tác dụng lên ôtô lực \(F\) theo hai tình huống minh họa trong hình a và b (H.4.3) thì vận tốc của ôtô thay đổi như thế nào?

A. Trong tình huống a vận tốc tăng, trong tình huông b vận tốc giảm

B. Trong tình huống a vận tốc giảm, trong tình huống b vận tốc giảm

C. Trong tình huống a vận tốc tăng, trong tình huống b vận tốc tăng

D. Trong tình huống a vận tốc giảm, trong tình huống b vận tốc tăng

Xem lời giải

Bài 4.8 trang 14 SBT Vật lí 8

Đề bài

Hình nào trong hình 4.4 biểu diễn đúng các lực:

\(\overrightarrow {{F_1}}\) có: điểm đặt \(A\); phương thẳng đứng; chiều từ dưới lên; cường độ \(10N\);

\(\overrightarrow {{F_2}}\) có: điểm đặt \(A\); phương nằm ngang; chiều từ trái sang phải; cường độ \(20N\);

\(\overrightarrow {{F_3}}\) có: điểm đặt \(A\); phương tạo với \(\overrightarrow {{F_1}}\), \(\overrightarrow {{F_2}}\) các góc bằng nhau và bằng \(45^0\); chiều hướng xuống dưới; cường độ \(30N\)

Xem lời giải

Bài 4.9 trang 14 SBT Vật lí 8

Đề bài

Đèn treo ở góc tường được giữ bởi hai sợi dây \(OA\), \(OB\) (H.4.5). Trên hình có biểu diễn các vectơ lực tác dụng lên đèn. Hãy diễn tả bằng lời các yếu tố đặc trưng của các lực đó.

 

Xem lời giải

Bài 4.10 trang 14 SBT Vật lí 8

Đề bài

Kéo vật có khối lượng \(50kg\) trên mặt phẳng nghiêng \(30^0\). Hãy biểu diễn \(3\) lực sau đây tác dụng lên vật bằng các vectơ lực:

- Trọng lực \(\overrightarrow {P}\)

- Lực kéo \(\overrightarrow {{F_k}}\) song song với mặt phẳng nghiêng, hướng lên trên, có cường độ \(250N\).

- Lực \(\overrightarrow {Q}\) đỡ vật có phương vuông góc với mặt nghiêng, hướng lên trên, có cường độ \(430N\).

Chọn tỉ xích \(1cm\) ứng với \(100N\).

Xem lời giải

Bài 4.11 trang 15 SBT Vật lí 8
Dùng búa nhổ đinh khỏi tấm ván. Hình nào trong hình 4.6 biểu diễn đúng lực tác dụng của búa lên đinh?

Xem lời giải

Bài 4.12 trang 15 SBT Vật lí 8
Một hòn đá bị ném xiên đang chuyển động cong. Hình nào trong hình 4.7 biểu diễn đúng lực tác dụng lên hòn đá (Bỏ qua sức cản của môi trường).

Xem lời giải