Bài 1 trang 25 SGK Hình học 12

Bài toán 1

Bài toán 2

Giả thiết

\(AB > AC\)

\(\widehat B < \widehat C\)

Kết luận

Đề bài

Từ điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\), kẻ đường vuông góc \(AH\), các đường xiên \(AB, AC\) đến đường thẳng \(d\). Hãy điền dấu (<, >) vào các chỗ trống (…) dưới đây cho đúng :

a) \(AB … AH\) ; \(AC … AH.\)

b) Nếu \(HB … HC\) thì \(AB … AC.\)

c) Nếu \(AB … AC\) thì \(HB … HC.\)

Trong tam giác \(ABC\)

 a) đường phân giác xuất phát từ đỉnh \(A\)

 a’) là đường thẳng vuông góc với cạnh \(BC\) tại trung điểm của nó

 b) đường trung trực ứng với cạnh \(BC\)

 b’) là đoạn vuông góc kẻ từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\)

 c) đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\)

 c’) là đoạn thẳng nối \(A\) với trung điểm của cạnh \(BC\).

 d) đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(A\)

 d’) là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh \(A\) và giao điểm của cạnh \(BC\) với tia phân giác của góc \(A\).

Trong một tam giác

  a) trọng tâm

  a’) là điểm chung của ba đường cao.

  b) trực tâm

  b’) là điểm chung của ba đường trung tuyến.

  c) điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh

  c’) là điểm chung của ba đường trung trực.

  d) điểm cách đều ba đỉnh

  d’) là điểm chung của ba đường phân giác.

Đề bài

a) Hãy nêu tính chất của trọng tâm của một tam giác ; các cách xác định trọng tâm.

b) Bạn Nam nói: "Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác". Bạn Nam nói đúng hay sai ? Tại sao?

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với \(AC < AB.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(BD = AB.\) Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(CE = AC.\) Vẽ các đoạn thẳng \(AD, AE.\)

a) Hãy so sánh góc \(ADC\) và góc \(AEB.\)

b) Hãy so sánh các đoạn thẳng \(AD\) và \(AE.\)

Đề bài

Gọi \(MH\) là đường cao của tam giác \(MNP.\) Chứng minh rằng: Nếu \(MN < MP\) thì \(HN < HP\)  và  \(\widehat {NMH} < \widehat {PMH}\) (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc \(N\) nhọn và khi góc \(N\) tù).

Đề bài

Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau: \(1\,cm, 2\,cm, 3\,cm, 4\,cm\) và \(5\,cm\)?

Đề bài

Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình \(58\). Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Đề bài

Cho tam giác \(MNP\) với đường trung tuyến \(MR\) và trọng tâm \(Q.\)

a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \(MPQ\) và \(RPQ.\)

b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \(MNQ\) và \(RNQ.\)

Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác \(QMN, QNP, QPM\) có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.

Đề bài

Cho góc \(xOy.\) Hai điểm \(A, B\) lần lượt nằm trên hai cạnh \(Ox, Oy.\)

a) Hãy tìm điểm \(M\) cách đều hai cạnh của góc \(xOy\) và cách đều hai điểm \(A, B.\)

b) Nếu \(OA = OB\) thì có bao nhiêu điểm \(M\) thỏa mãn các điều kiện trong câu a?

Đề bài

Cho hai đường thẳng phân biệt không song song \(a\) và \(b\), điểm \(M\) nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua \(M\) lần lượt vẽ đường thẳng \(c\) vuông góc với \(a\) tại \(P\), cắt \(b\) tại \(Q\) và đường thẳng \(d\) vuông góc với \(b\) tại \(R,\) cắt \(a\) tại \(S.\) Chứng minh rằng đường thẳng qua \(M,\) vuông góc với \(SQ\) cũng đi qua giao điểm của \(a\) và \(b.\)

Đề bài

Cho \(A, B\) là hai điểm phân biệt và \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

a) Ta kí hiệu \({P_A}\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) có chứa điểm \(A\) (không kể đường thẳng \(d\)). Gọi \(N\) là một điểm của \({P_A}\) và \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(NB\) và \(d.\) Hãy so sánh \(NB\) với \(NM + MA;\) từ đó suy ra \(NA < NB.\)

b) Ta kí hiệu \({P_B}\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) có chứa điểm \(B\) (không kể điểm \(d\)). Gọi \(N’\) là một điểm của \({P_B}.\) Chứng minh rằng \(N’B < N’A.\)

c) Gọi \(L\) là một điểm sao cho \(LA < LB.\) Hỏi điểm \(L\) nằm ở đâu, trong \({P_A},{P_B}\) hay trên \(d\)?

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC biết BC = 1cm; AB = 6cm. Tính độ dài cạnh AC biết độ dài này là một số nguyên.

Bài 2: Chứng minh rằng “trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy”.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 12cm; BC = 15cm.

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) vuông.

b) Vẽ trung tuyến AM. Từ M vẽ MH vuông góc với AC. Trên tia đối của tia MH lấy điểm K sao cho MK = MH. Chứng minh \(\Delta MHC = \Delta MKB.\)

c) Gọi G là giao điểm của BH và AM. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng I, G, C thẳng hàng.

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, các đường phân giác của góc \(\widehat {BAH}\) và \(\widehat {CAH}\) cắt BC ở D và E.

a) Chứng minh \(\widehat {HAB} = \widehat {C.}\)

b) Chứng minh \(\Delta ABE\) cân.

Bài 2: Cho tam giác ABC có \(AB < AC\), phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho \(A{\rm{E}} = AB.\)

a) Chứng minh: \(B{\rm{D}} = E{\rm{D}}.\)

b) AB cắt ED ở K. Chứng minh rằng: \(\Delta DBK = \Delta DEC.\)

c) Chứng minh: \(\Delta AKC\) là tam giác đều.

d) Chứng minh: \(A{\rm{D}} \bot KC.\)    

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AH, vẽ HP vuông góc với AB (P thuộc AB); trên tia đối của tia PH lấy \(PM = PH\) , vẽ HQ vuông góc với AC (Q thuộc AC). Trên tia đối của tia QH lấy \(QN = QH\). Nối M với N đường thẳng MN cắt AB, AC theo thứ tự tại Ivà K. Chứng minh:
a) \(\Delta AMN\) cân.
b) Tia HA là tia phân giác của góc \(\widehat {IHK}\). 

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có \(\widehat C = {30^0}\), đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho \(H{\rm{D}} = HB\). Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:

a) \(\Delta AB{\rm{D}}\) là tam giác đều;

b) \(AH = CE;\)

c) EH // AC.  

Đề bài

Bài 1: Tìm chu vi của một tam giác cân biết hai cạnh tron ba cạnh của tam giác có độ dài là 4cm; 9cm.

Bài 2: Cho tam giác ABC (\(AB > AC\)). Gọi AD là phân giác của góc A. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Chứng minh:

a) \(\Delta A{\rm{D}}M = \Delta ADC.\)

b) \(\widehat {A{\rm{D}}B} > \widehat {A{\rm{D}}C}.\)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại B, vẽ phân giác AD (D thuộc BC). Từ D vẽ  DE vuông góc với AC (E thuộc AC).

a) Chứng minh rằng: BD = DE.

b) Chứng minh: \(C{\rm{D}} > B{\rm{D}}.\)

e) ED cắt AB tại F. Chứng minh \(\Delta A{\rm{D}}F = \Delta A{\rm{D}}C.\)

d) Chứng minh \(BA + BC > DE + AC.\)

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {70^0},\widehat C = {60^0},\) vẽ đường cao AH. Hãy so sánh độ dài các đoạn HB và HC.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn,  hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh DE // HK.

Bài 3: Cho tam giác ABC  cân tại A (\(AB > AC\)), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) \(\Delta AB{\rm{D}}\) và \(\Delta AC{\rm{E}}\) bằng nhau;

b) AH là đường trung trực của đoạn BC;

c) DE và BC song song với nhau;

d) \(AH > CH.\)  

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {55^0},\widehat B = {65^0}.\) Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC.

Bài 2: Cho tam giác ADE vuông tại A có AD = 8cm, AE = 15 cm.

a) Tính độ dài đoạn DE.

b) Gọi N là trung điểm của AE. Trên tia đối của tia ND lấy điểm K sao cho \(N{\rm{D}} = NK.\) Chứng minh: \(\Delta AN{\rm{D}} = \Delta ENK\); so sánh độ dài đoạn thẳng AD và EK.

e) Chứng minh AK và DE song song với nhau.

d) Chứng minh: \(A{\rm{D}} + DE > 2{\rm{D}}N.\) 

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại B có góc B tù.

a) So sánh độ dài hai cạnh AB và AC.

b) Biết số đo góc A bằng \({25^0}\). Tính số đo góc B và góc C.

Bài 2: Cho tam giác DEF có \(\widehat E = {90^0},\) tia phân giác DH. Qua H kẻ HI vuông góc với DF (I thuộc DF). Chứng minh:

a) \(\Delta DHE = \Delta DHI\).

b) DH là đường trung trực của đoạn  EI.

c) \(EH < HF.\)