Bài 1. Vectơ trong không gian

Bài Tập và lời giải

Câu hỏi 1 trang 85 SGK Hình học 11

Cho hình tứ diện ABCD. Hãy chỉ ra các vecto có điểm đầu là A và điểm cuối là các điểm còn lại của hình tứ diện. Các vecto đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không ?

Xem lời giải

Câu hỏi 2 trang 85 SGK Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy kể tên các vecto có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vecto \(\overrightarrow {AB} \)

Xem lời giải

Câu hỏi 3 trang 86 SGK Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.EFGH. Hãy thực hiện các phép toán sau đây (h.3.2):

\(\eqalign{
& a)\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {{\rm{EF}}} + \overrightarrow {GH} \cr
& b)\,\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CH} \cr} \)

Xem lời giải

Câu hỏi 4 trang 87 SGK Hình học 11

Trong không gian cho hai vecto \(\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b \) đều khác vecto – không.

Hãy xác định các vecto  \(\overrightarrow m  = 2\overrightarrow a ;\,\overrightarrow n  =  - 3\overrightarrow b ;\,\overrightarrow p  = \overrightarrow m  + \overrightarrow n \)

Xem lời giải

Câu hỏi 5 trang 89 SGK Hình học 11

Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\). Gọi \(I\) và \(K \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(BC\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(IK\) và \(ED\) song song với mặt phẳng \((AFC)\). Từ đó suy ra ba vecto \(\overrightarrow {{\rm{AF}}} ;\,\overrightarrow {IK} ;\,\overrightarrow {ED} \) đồng phẳng.

Xem lời giải

Câu hỏi 6 trang 89 SGK Hình học 11

Cho hai vecto \(\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b \)  đều khác vecto \(\overrightarrow 0 \)  . Hãy xác định vecto \(\overrightarrow c  = 2\overrightarrow a  - \overrightarrow b \) và giải thích tại sao ba vecto \(\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c \) đồng phẳng.

Xem lời giải

Câu hỏi 7 trang 89 SGK Hình học 11

Cho ba vecto \(\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c \)  trong không gian. Chứng minh rằng nếu \(m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  + p\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \) và một trong ba số m, n, p khác không thì ba vecto \(\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b ;\,\overrightarrow c \)  đồng phẳng.

Xem lời giải

Bài 1 trang 91 SGK Hình học 11

Cho hình lăng trụ tứ giác: \(ABCD.A'B'C'D'\). Mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh bên \(AA', BB', CC', DD'\) lần lượt tại \(I, K, L, M\). Xét các véctơ có các điểm đầu là các điểm \(I, K, L, M\) và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. hãy chỉ ra các véctơ:

a) Cùng phương với \(\overrightarrow{IA}\);

b) Cùng hướng với \(\overrightarrow{IA}\);

c) Ngược hướng với \(\overrightarrow{IA}\).

Xem lời giải

Bài 2 trang 91 SGK Hình học 11

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{B'C'}\) + \(\overrightarrow{DD'}\) = \(\overrightarrow{AC'}\);

b) \(\overrightarrow{BD}\) - \(\overrightarrow{D'D}\) - \(\overrightarrow{B'D'}\) = \(\overrightarrow{BB'}\);

c) \(\overrightarrow{AC}\) + \(\overrightarrow{BA'}\) + \(\overrightarrow{DB}\) + \(\overrightarrow{C'D}\) = \(\overrightarrow{0}\).

Xem lời giải

Bài 3 trang 91 SGK Hình học 11

Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(S\) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. chứng minh rằng: \(\overrightarrow{SA}\) + \(\overrightarrow{SC}\) = \(\overrightarrow{SB}\) + \(\overrightarrow{SD}\).

Xem lời giải

Bài 4 trang 92 SGK Hình học 11

Cho hình tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng: 

a) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right );\)

b) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).\)

Xem lời giải

Bài 5 trang 92 SGK Hình học 11

Cho hình tứ diện \(ABCD\). Hãy xác định hai điểm \(E, F\) sao cho:

a) \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD};\)

b) \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\)

Xem lời giải

Bài 6 trang 92 SGK Hình học 11

Cho hình tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}.\)

Xem lời giải

Bài 7 trang 92 SGK Hình học 11

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC\) và \(BD\) của tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) và \(P\) là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng: 

a) \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};\)

b) \(\overrightarrow{PI}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).\)

Xem lời giải

Bài 8 trang 92 SGK Hình học 11

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có  \(\overrightarrow{AA'}\) = \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{c}\). Hãy phân tích (hay biểu thị véctơ \(\overrightarrow{B'C}\), \(\overrightarrow{BC'}\) qua các véctơ \(\overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\).

Xem lời giải

Bài 9 trang 92 SGK Hình học 11

Cho tam giác \(ABC\). Lấy điểm \(S\) nằm ngoài mặt phẳng \((ABC)\). Trên đoạn \(SA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{MS}\) = \(-2\overrightarrow{MA}\) và trên đoạn \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow{NB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NC}.\) Chứng minh rằng ba véctơ  \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{SC}\) đồng phẳng.

Xem lời giải

Bài 10 trang 92 SGK Hình học 11

Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\), \(I\) là giao điểm của \(BH\) và \(DF\). Chứng minh ba véctơ \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{KI}\), \(\overrightarrow{FG}\) đồng phẳng.

Xem lời giải

Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”