Giả sử \(∆ABC\) cân tại \(A\), \(M\) là điểm thuộc cạnh đáy \(BC\), ta chứng minh \(AM ≤ AB; AM ≤ AC\).
- Nếu \(M ≡ B\) hoặc \(M ≡ C\) ( Kí hiệu \(≡\) đọc là trùng với) thì \(AM = AB, AM = AC\).
- Nếu \(M\) nằm giữa \(B\) và \(C\); ( \(M \not\equiv B , C\)). Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), mà \(∆ABC\) cân tại \(A\) nên \(AH ⊥ BC\).
+ Nếu \(M ≡ H\) \(\Rightarrow \) \(AM ⊥ BC\) \(\Rightarrow \) \(AM < AB\) và \(AM < AC\) (Theo định lí 1)
+ Nếu \(M\) \(\not\equiv\) \(H\), giả sử \(M\) nằm giữa \(H\) và \(C\) \(\Rightarrow \) \(MH < CH\).
Vì \(MH\) và \(CH\) lần lượt là hình chiếu của \(MA\) và \(CA\) trên đường thẳng \(BC\) nên \(MA < CA\) (Theo định lí 2)
Mà \(CA=BA\) \(\Rightarrow \) \(MA < BA\).
Chứng minh tương tự nếu \(M\) nằm giữa \(H\) và \(B\) thì \(MA < AB, MA < AC\)
Vậy mọi vị trí của \(M\) trên cạnh đáy \(BC\) thì \(AM ≤ AB, AM ≤ AC\).
