Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12

Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(1\).

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có:  \(O \equiv A,\;\;B \in Ox;\;D \in Oy,A'\in Oz.\)

Khi đó ta có các điểm:  \(A\left( {0;\;0;\;0} \right);\;\;B\left( {1;\;0;\;0} \right);\;C\left( {1;\;1;\;0} \right);\;D\left( {0;\;1;\;0} \right);\)  \(A'\left( {0;\;0;\;1} \right);\;\;B'\left( {1;\;0;\;1} \right);\;C'\left( {1;\;1;1} \right);\;D'\left( {0;\;1;\;1} \right).\)

a) Ta có:  \(\overrightarrow {AB'}  = \left( {1;\;0;\;1} \right);\;\;\overrightarrow {AD'}  = \left( {0;\;1;\;1} \right);\;\overrightarrow {BC'}  = \left( {0;\;1;\;1} \right);\) \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;\;1;\;0} \right).\)

Mặt phẳng \((AB’D’)\) đi qua \(A\) và có VTPT:  \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[{\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right]\) \( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1; - 1;1} \right) =  - \left( {1;\;1;\; - 1} \right).\)

\(\Rightarrow\) Phương trình mặt phẳng \((AB’D’)\) là: \(x+y-z=0.\)

Tương tự ta lập được phương trình mặt phẳng \((BC’D)\) là: \(x+y-z-1=0.\)

Xét phương trình hai mặt phẳng ta có:

\(\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}} \Rightarrow \left( {AB'D'} \right)//\left( {BC'D} \right)\;\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:

Xét hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\), ta có \(BD // B'D'\) vì \(BB'D'D\) là hình chữ nhật, \(AD' // BC'\) vì \(ABC'D'\) là hình chữ nhật.

Do đó mặt phẳng \((AB'D')\) có hai đường thẳng cắt nhau \(B'D'\) và \(AD'\) lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau \(BD\) và \(BC'\) của mặt phẳng \((BC'D)\). Vì vậy \((AB'D') // (BC'D)\)

b) Vì \((AB'D') // (BC'D)\) nên khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BC'D)\) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có:

\(d((AB'D'),(BC'D) )=d(A,(BC'D))=\dfrac{|-1|}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)