Kẻ: \(I{\rm{D}} \bot AB,IE \bot BC,{\rm{IF}} \bot {\rm{A}}C\)
Xét hai tam giác vuông \(IDB\) và \(IEB\) có:
\( \widehat {I{\rm{D}}B} = \widehat {IEB} = 90^\circ \)
\( \widehat {DBI} = \widehat {EBI} \) (vì \(BI\) là phân giác góc \(B\))
\(BI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆IDB = ∆IEB\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow ID = IE\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông \(IEC\) và \(IFC\) có :
\( \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \)
\( \widehat {ECI} = \widehat {FCI} \) (vì \(CI\) là phân giác góc \(C\))
\(CI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆ IEC = ∆IFC\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow IE = IF\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(ID = IF\).
Xét hai tam giác vuông \(IDA\) và \(IFA\) có:
\(\widehat {I{\rm{D}}A} = \widehat {IFA} = 90^\circ \)
\(ID = IF\) (chứng minh trên)
\(AI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆IDA = ∆IFA\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \widehat {DAI} = \widehat {FAI}\) (hai góc tương ứng)
Vậy \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat A\).
