\(a)\) Vì \(B\) đối xứng với \(A\) qua trục \(Ox\) nên \(Ox\) là đường trung trực của đoạn \(AB.\)
\(⇒ OA = OB\) (tính chất đường trung trực) \((1)\)
Vì \(C\) đối xứng với \(A\) qua trục \(Oy\) nên \(Oy\) là đường trung trực của đoạn \(AC.\)
\(⇒ OA = OC\) (tính chất đường trung trực) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(OB = OC.\)
\(b)\) Ta có: \(OB = OC\) do đó điểm \(B\) đối xứng với điểm \(C\) qua tâm \(O\) cần thêm điều kiện \(B, O, C \) thẳng hàng.
\(∆ OAB\) cân tại \(O\) có \(Ox\) là đường trung trực của \(AB\) nên \(Ox\) cũng là đường phân giác của \(\widehat {AOB} \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_3}\)
\(∆ OAC\) cân tại \(O\) có \(Oy\) là đường trung trực của \(AC\) nên \(Oy\) cũng là đường phân giác của \(\widehat {AOC} \Rightarrow {\widehat O_2} = {\widehat O_4}\)
\(B, O, C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow {\widehat O_1} +{\widehat O_2} + {\widehat O_3} + {\widehat O_4} = {180^0}\)
\(\eqalign{& \Leftrightarrow 2{\widehat O_1} + 2{\widehat O_2} = {180^0} \cr& \Leftrightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_2} = {90^0} \cr& \Leftrightarrow \widehat {xOy} = {90^0} \cr} \)
Vậy \(\widehat {xOy} = {90^0}\) thì \(B\) đối xứng với \(C\) qua tâm \(O.\)
