Ta có: \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\)\( = x - \sqrt x + {\dfrac{1}{4}} + {\dfrac{3}{4}} = x - \sqrt x + 1\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Ta có: \({\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}} = {\dfrac{1}{{{\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)}^2} + {\dfrac{3}{4}}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\) nhỏ nhất.
Vì \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}} \ge \dfrac{3}{4}\)
Ta có \({\left( {\sqrt x - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}} \ge {\dfrac{3}{4}}\) nhỏ nhất bằng \({\dfrac{3}{4}}.\)
Khi đó: \({\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}} \le \ \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}}} \le \ {\dfrac{4 }{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\sqrt x - {\dfrac{1}{2}} = 0 \Rightarrow x = {\dfrac{1}{4}}\)
Vậy \({\dfrac{1}{x - \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{4 }{3}\) khi \(x = {\dfrac{1 }{4}}\).
