Điều kiện: \(x\ge 0, x\ne 9\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}} = {{\sqrt x - 3 + 4} \over {\sqrt x - 3}} \cr
& = 1 + {4 \over {\sqrt x - 3}} \cr}\)
Để \({1 + \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}}}\) nhận giá trị nguyên thì \(\dfrac{4}{{\sqrt x - 3}}\) phải có giá trị nguyên.
Vì \(x\) nguyên nên \(\sqrt x \) là số nguyên hoặc số vô tỉ.
*Nếu \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\sqrt x - 3\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{4}{{\sqrt x - 3}}\) không có giá trị nguyên.
Trường hợp này không có giá trị nào của \(x\) để biểu thức nhận giá trị nguyên.
*Nếu \(\sqrt x \) là số nguyên thì \(\sqrt x - 3\) là số nguyên. Vậy để \(\dfrac{4}{{\sqrt x - 3}}\) nguyên thì \(\sqrt x - 3\) phải là ước của 4.
Đồng thời \(x \ge 0\) suy ra: \(\sqrt x \ge 0\)
Ta có: Ư(4) = \({\rm{\{ }} - 4; - 2; - 1;1;2;4{\rm{\} }}\)
Suy ra: \(\sqrt x - 3 = - 4 \Rightarrow \sqrt x = - 1\) (loại)
\(\eqalign{
& \sqrt x - 3 = - 2 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1(tm) \cr
& \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Rightarrow x = 4 (tm)\cr
& \sqrt x - 3 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 (tm)\cr
& \sqrt x - 3 = 2 \Rightarrow \sqrt x = 5 \Rightarrow x = 25 (tm)\cr
& \sqrt x - 3 = 4 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Rightarrow x = 49 (tm)\cr} \)
Vậy với \(x \in {\rm{\{ }}1;4;16;25;49\} \) thì biểu thức \({\dfrac{\sqrt x + 1}{\sqrt x - 3}}\) nhận giá trị nguyên.
