Gọi phân số lớn nhất cần tìm là \(\displaystyle {a \over b}\) \((ƯCLN (a, b) = 1).\)
Ta có:
+) \(\displaystyle {8 \over {15}}:{a \over b} = {8 \over {15}}.{b \over a} = {{8b} \over {15{\rm{a}}}}\) là số nguyên \(\displaystyle \Rightarrow 8b \;⋮ \;15a.\)
\(ƯCLN (8; 15) = 1\) và \(ƯCLN (a, b) = 1\)
Suy ra \(8 \;⋮ \; a\) và \(b \;⋮ \; 15.\) \((1)\)
+) \(\displaystyle {{18} \over {35}}:{a \over b} = {{18} \over {35}}.{b \over a} = {{18.b} \over {35.a}}\) là số nguyên \(\displaystyle \Rightarrow 18b \;⋮ \;35a.\)
\(ƯCLN (8; 35) = 1\) và \(ƯCLN (a, b) = 1\)
Suy ra \(18\;⋮ \; a\) và \(b\;⋮ \; 35.\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle a \in ƯC\left( {8;18} \right) = \left\{ {1;2} \right\}\)
\(\displaystyle b \in BC\left( {15;35} \right) = \left\{ {0;105;210;...} \right\}\)
Vì \(\displaystyle {a \over b}\) lớn nhất nên \(a\) lớn nhất, \(b\) nhỏ nhất khác \(0.\)
Vậy phân số cần tìm là \(\displaystyle {2 \over {105}}.\)
