Kẻ đường kính \(BB'\). Nối \(B'A,B'D,B'C\).
\( \widehat {B'DB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\( \Rightarrow DB' \bot BD\)
Mặt khác \(AC\bot BD\) (gt)
\( \Rightarrow DB'//AC\)
Vì \(AC//DB'\) nên \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)
\(sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)
\(sđ\overparen {CB'D} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)
Mà \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)
\( \Rightarrow sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {CB'D}\).
\( \Rightarrow AB' = CD\) (các dây cung chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau) (1)
Ta có \(\widehat {BAB'} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BAB'\) có:
\(A{B^2} + AB{'^2} = BB{'^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(A{B^2} + C{D^2} = BB{'^2}\)
Hay \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).
