Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E\) và \(F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(BB'\) và \(DD'\). Mặt phẳng \((CEF)\) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.

Lời giải

Ta xác định thiết diện của hình hộp \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) khi cắt bởi \(\displaystyle (CEF)\). Mặt phẳng \(\displaystyle (CEF)\) chứa đường thẳng \(\displaystyle EF\) mà \(\displaystyle E\) là trung điểm của \(\displaystyle BB', F\) là trung điểm của \(\displaystyle CC'\).

\(\displaystyle O \in EF \Rightarrow O \in CEF \Rightarrow CO \subset \left( {CEF} \right)\)

\(\displaystyle A' \in CO \Rightarrow A' \in \left( {CEF} \right)\)

Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành \(\displaystyle CEA'F\).

Mặt phẳng (CEA'F) chia khối hộp thành 2 phần: ABCD.A'ECF  (\(\displaystyle V_1\)) và A'B'C'D'.CEA'F (\(\displaystyle V_2\))

Qua \(\displaystyle EF\) ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt \(\displaystyle AA'\) ở \(\displaystyle P\) và cắt \(\displaystyle CC'\) ở \(\displaystyle Q\).

Ta có:

\(\displaystyle \begin{array}{l}{V_{ABCD.A'ECF}} = {V_{ABCD.EFP}} + {V_{A'.PEF}}\\{V_{A'PEF}} = {V_{C.QEF}}\end{array}\)

\(\Rightarrow {V_{ABCD.A'ECF}} = {V_{ABCD.EFP}} + {V_{C.QEF}} \) \(= {V_{ABCD.EPFQ}} = \frac{1}{2}V\)

Do đó \(\displaystyle {V_1} = {V_2} = \frac{1}{2}V \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\).

Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm \(\displaystyle O\) của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng \(\displaystyle (CEF)\) chứa điểm \(\displaystyle O\) nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm \(\displaystyle O\). Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.


Bài Tập và lời giải

Phương pháp làm bài thể loại kể chuyện
Kể chuyện là kể lại một chuỗi sự việc có đầu có cuối, liên quan một hay một số nhân vật. Mỗi câu chuyện cần nói lên được một điều có ý nghĩa.

Xem lời giải

Soạn bài Con Rồng Cháu Tiên
1. Truyền thuyết là loại truyện dân gian kể về các nhân vật và sự kiện có liên quan đến lịch sử thời quá khứ.

Xem lời giải

Soạn bài Luyện nói kể chuyện
 Soạn bài luyện nói kể chuyện 

Xem lời giải