Ta chia ra các trường hợp:
\(1.\) Trường hợp \(a, b, a’, b’\) đều khác \(0 \)
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - \displaystyle{a \over b}x + {c \over b}}(d)\cr
{y = - \displaystyle{{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}} (d') \cr}} \right.\)
\(a)\) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) cắt nhau tức là hai đường thẳng này có hệ số góc khác nhau. Do đó \(\displaystyle{a \over b} \ne {{a'} \over {b'}} \) hay \(\displaystyle{a \over {a'}} \ne {b \over {b'}}\)
\(b)\) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) song song. Tức là hai đường thẳng này có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau. Do đó:
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{a \over b} = {{a'} \over {b'}}} \cr
\displaystyle{{c \over b} \ne {{c'} \over {b'}}} \cr}}\right.\) hay \( \displaystyle{a \over {a'}} = {b \over {b'}} \ne {c \over {c'}}\) (nếu \(c’ \ne 0\)) hoặc \(\displaystyle{a' \over {a}} = {b' \over {b}} \ne {c' \over {c}}\) (nếu \(c \ne 0\))
\(c)\) Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm khi hai đường thẳng \((d)\) và \((d')\) trùng nhau tức là hai đường thẳng này có cùng hệ số góc và tung độ gốc. Do đó
\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{a \over b} = {{a'} \over {b'}}} \cr
\displaystyle{{c \over b} = {{c'} \over {b'}}} \cr}} \right.\) hay \( \displaystyle {a \over {a'}} = {b \over {b'}} = {c \over {c'}}\) (nếu \(c’ \ne 0\)) hoặc \(\displaystyle{a' \over {a}} = {b' \over {b}} = {c' \over {c}}\) (nếu \(c \ne 0\))
\(2.\) Trường hợp \(a = 0\) và \(a’ \ne 0\)
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{c \over b}} \cr
{y = \displaystyle - {{a'} \over b'}x + {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right. \text{(nếu } b’ \ne 0)\)
Hoặc
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {c \over b}} \cr
{x = \displaystyle{{c'} \over {a'}}} \cr} } \right. \text{(nếu } b’ = 0)\)
Vì đường thẳng \(y =\displaystyle {c \over b}\) song song hoặc trùng với trục \(Ox\), còn đường thẳng \(y = \displaystyle - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}\) và đường thẳng \(x = \displaystyle {{c'} \over {a'}}\) luôn luôn cắt trục hoành nên đường thẳng \(y =\displaystyle {c \over b}\) luôn luôn cắt hai đường thẳng \(y = \displaystyle - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}\) và \(x = \displaystyle {{c'} \over {a'}}\) . Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Tương tự trường hợp \(a \ne 0\) và \(a' = 0\) , hệ phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất.
\(3.\) Trường hợp \(a = a’ = 0\)
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {c \over b}} \cr
{y =\displaystyle {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\)
Hệ đã cho vô nghiệm khi \(\displaystyle {c \over b} \ne {{c'} \over {b'}}\)
Hệ đã cho có vô số nghiệm khi \(\displaystyle {c \over b} = {{c'} \over {b'}}\)
\(4.\) Trường hợp \(b = 0 ; b’≠ 0\)
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle {c \over a}} \cr
{y = \displaystyle - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}} \cr} } \right.} \right.\)
Vì đường thẳng \(x = \displaystyle {c \over a}\) song song hoặc trùng với trục \(Oy\), còn đường thẳng \(y = \displaystyle - {{a'} \over {b'}}x + {{c'} \over {b'}}\) luôn cắt trục \(Oy\) nên hai đường thẳng này luôn luôn cắt nhau. Do đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Tương tự trường hợp \(b \ne 0\) và \(b' = 0\) , hệ phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất.
\(5.\) Trường hợp \(b = b’ = 0\)
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle {c \over a}} \cr
{x = \displaystyle {{c'} \over {a'}}} \cr} } \right.} \right.\)
Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng đó song song: \(\displaystyle {c \over a} \ne {{c'} \over {a'}}\)
Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng đó trùng nhau: \(\displaystyle {c \over a} = {{c'} \over {a'}}\)
Áp dụng:
\(a)\) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất:
\(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{3x - y = 3} \cr} } \right.\)
\(b)\) Hệ phương trình vô nghiệm:
\(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{4x + 6y = 5} \cr} } \right.\)
\(c)\) Hệ phương trình có vô số nghiệm:
\(\left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 1} \cr
{4x + 6y = 2} \cr} } \right.\)
