Kẻ đường chéo \(AC\) cắt \(EF\) tại \(I.\)
Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào \(\Delta ADC \) có \(EI // CD\), ta có:
\(\displaystyle {{AE} \over {AD}} = {{EI} \over {CD}}\)
\( \Rightarrow \displaystyle EI = {{AE} \over {AD}}.CD\) (1)
Lại có: \(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) (gt)
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:
\(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\)
\( \displaystyle\Rightarrow {{AE} \over {AE + ED}} = {p \over {p + q}}\)
Hay \( \displaystyle{{AE} \over {AD}} = {p \over {p + q}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle EI = {p \over {p + q}}.CD\)
Áp dụng định lí Ta-lét vào \(\Delta ABC\) có \(IF // AB\), ta có:
\(\displaystyle {{BF} \over {FC}} = {{AI} \over {IC}}\) (3)
Áp dụng định lí Ta-lét vào \(\Delta ADC\) có \(EI // CD\), ta có:
\(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {{AI} \over {IC}}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\displaystyle {{BF} \over {FC}} = {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\)
Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào \(\Delta ABC\) có \(IF // AB\), ta có:
\(\displaystyle {{IF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow IF = {{CF} \over {CB}}.AB\) (5)
Ta có: \(\displaystyle {{BF} \over {CF}} = {p \over q}\) (cmt)
\(\displaystyle \Rightarrow {{CF} \over {BF}} = {q \over p}\)
Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:
\(\displaystyle {{CF} \over {BF}} = {q \over p}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{CF} \over {CF + BF}} = {q \over {p + q}} \)
\(\displaystyle \Rightarrow {{CF} \over {CB}} = {q \over {p + q}}\) (6)
Từ (5) và (6) suy ra: \(\displaystyle IF = {q \over {p + q}}.AB\)
Vậy \(\displaystyle EF = EI + {\rm I}F \)\(\,\displaystyle = {p \over {p + q}}.CD + {q \over {p + q}}.AB \)\(\,\displaystyle = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\)
