a) Xét tứ giác \(ADME\) ta có:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
\(MD ⊥ AB\) (gt)
\( \Rightarrow \widehat {ADM} = {90^0}\)
\(ME ⊥ AC\) (gt)
\( \Rightarrow \widehat {AEM} = {90^0}\)
Suy ra: Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
\(∆ ABC\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow \widehat B = {45^0}\)
Suy ra: \(∆ DBM\) vuông cân tại \(D\) \(⇒ DM = DB\)
Chu vi hình chữ nhật \(ADME\) bằng :
\(2(AD + DM)\) \(= 2 ( AD + DB)\) \(= 2 AB = 2.4 = 8\) \((cm)\)
b) Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)
Suy ra: \(AH ⊥ BC\) (tính chất tam giác cân)
\(AM ≥ AH\) (dấu “=” xảy ra khi \(M\) trùng với \(H\))
Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật
\(⇒ AM = DE\) (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra: \(DE ≥ AH\)
Vậy \(DE = AH\) có độ dài nhỏ nhất khi điểm \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
