Ta có: \(\cos 3x-\sin 2x=0\)
\(\Leftrightarrow\cos 3x=\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow\cos 3x=\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)\)
\(\Leftrightarrow 3x=\pm(\dfrac{\pi}{2}-2x)+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}5x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)
và \(x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).
LG câu b
Phương pháp:
Tìm điều kiện xác định của \(\tan x\) và \(\tan 2x\) là \(\cos x\ne0\) và \(\cos 2x\ne0\)
Biến đổi \(\tan x=\dfrac{\ sin x}{\cos x}\)
Áp dụng công thức cosin của một hiệu: \(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\cos 2x\ne0\end{array} \right. \)
Ta có: \(\tan x\tan 2x = -1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1\)
\(\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x\)
\(\Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0\)
\(\Leftrightarrow \cos (2x-x)=0\)
\(\Leftrightarrow \cos x=0\)
Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.
LG câu c
Phương pháp:
Đưa phương trình về dạng \(\sin a=\sin b\)
Khi đó \(a=b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\) và \(a=\pi-b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).
Ta có: \(\sin 3x+\sin 5x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 5x=-\sin 3x\)
\(\Leftrightarrow \sin 5x=\sin (-3x)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = -3x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x= \pi-(-3x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là:
\(x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\)
và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
LG câu d
Phương pháp:
Tìm điều kiện xác định của \(\cot 2x\) và \(\cot 3x\) là \(\sin 2x\ne0\) và \(\sin 3x\ne0\)
Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Ta có: \(\cot 2x\cot 3x = 1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1\)
\(\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0\)
\(\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0\)
\(\Leftrightarrow \cos 5x=0\)
\(\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)
Với điều kiện ở trên khi đó:
\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)
với \(k\ne\dfrac{5m-1}{2}\) và \(k\ne\dfrac{10m-3}{6}\) \(m\in\mathbb{Z}\).
