Trong \(∆ BCD\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
\(F\) là trung điểm của \(BD\) (gt)
nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ BCD\)
\(⇒ EF // CD\) và \(EF= \dfrac{1}{2}CD\) (1)
Trong \(∆ ACD\) ta có:
\(H\) là trung điểm của \(AC\) (gt)
\(G\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ ACD\)
\(⇒ HG // AC\) và \(HG = \dfrac{1}{2}AC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)
Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Mặt khác: \(EF // CD\) (chứng minh trên)
\(AB ⊥ CD\) (gt)
Suy ra \(EF ⊥ AB\)
Trong \(∆ ABC\) ta có \(HE\) là đường trung bình \(⇒ HE // AB\)
Suy ra: \(HE ⊥ EF\) hay \(\widehat {FEH} = {90^0}\)
Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình chữ nhật.
