a. Ta có: \(M\) là trung điểm của \(BC\)
\(N\) là trung điểm của \(AC\)
nên \(MN\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ MN = \dfrac{1}{2} AB\)
Lại có: \(P\) là trung điểm của \(AB\) nên \(MP\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ MP = \dfrac{1}{2} AC\)
\(NP\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ NP = \dfrac{1}{2} BC\)
mà \(AB = BC = AC\) (gt) nên \(MN = MP = NP.\) Vậy \(∆ MNP\) đều
b.
Xét \(∆ APQ\) và \(∆ BQM:\)
\(AQ = BQ\) (gt)
\(\widehat A = \widehat B = {90^0}\)
\(AP = BM\) (gt)
Do đó: \(∆ APQ = ∆ BQM (c.g.c)\) \(⇒ PQ = QM \,(1)\)
Xét \(∆ BQM\) và \(∆ CMN:\)
\(BM = CM\) (gt)
\(\widehat B = \widehat C = {90^0}\)
\(BQ = CN \)(gt)
Do đó: \(∆ BQM = ∆ CMN (c.g.c)\) \(⇒ QM = MN \,(2)\)
Xét \(∆ CMN\) và \(∆ DNP:\)
\(CN = DN\) (gt)
\(\widehat C = \widehat D = {90^0}\)
\(CM = DP\) (gt)
Do đó: \(∆ CMN = ∆ DNP (c.g.c)\) \( ⇒ MN = NP \,(3)\)
Từ \((1), (2)\) và \((3)\) suy ra: \(MN = NP = PQ = QM\)
nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi
Vì \(AP = AQ\) nên \(∆ APQ\) vuông cân tại \(A\)
\(BQ = BM\) nên \(∆ BMQ\) vuông cân tại \(B\)
\( \Rightarrow \widehat {AQP} = \widehat {BQM} = {45^0}\)
\(\widehat {AQP} + \widehat {PQM} + \widehat {BQM} = {180^0}\) (kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {PQM} = {180^0} - \left( {\widehat {AQP} + \widehat {BQM}} \right)\)
\(= {180^0} - \left( {{{45}^0} + {{45}^0}} \right) = {90^0}\)
Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình vuông.
c.
Xét \(∆ ABC\) và \(∆ BCD:\)
\(AB = BC \)(gt)
\(\widehat B = \widehat C\) (gt)
\(BC = CD\) (gt)
Do đó: \(∆ ABC = ∆ BCD (c.g.c)\)
\(⇒ AC = BD\, (1)\)
Xét \(∆ BCD\) và \(∆ CDE:\)
\(BC = CD\) (gt)
\(\widehat C = \widehat D\) (gt)
\(CD = DE\) (gt)
Do đó: \(∆ BCD = ∆ CDE (c.g.c)\) \(⇒ BD = CE \,(2)\)
Xét \(∆ CDE\) và \(∆ DEA:\)
\(CD = DE\) (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (gt)
\(DE = EA\) (gt)
Do đó: \(∆ CDE = ∆ DEA (c.g.c)\) \( ⇒ CE = DA\, (3)\)
Xét \(∆ DEA\) và \(∆ EAB:\)
\(DE = EA\) (gt)
\(\widehat E = \widehat A\) (gt)
\(EA = AB\) (gt)
Do đó: \(∆ DEA = ∆ EAB (c.g.c) \) \(⇒ DA = EB \,(4)\)
Từ \((1), (2), (3), (4)\) suy ra: \(AC = BD = CE = DA = EB\)
Trong \(∆ ABC\) ta có \(RM\) là đường trung bình
\(⇒ RM = \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Mặt khác, ta có: Trong \(∆ BCD\) ta có \(MN\) là đường trung bình
\(⇒ MN = \dfrac{1}{2} BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong \(∆ CDE\) ta có \(NP\) là đường trung bình
\(⇒ NP = \dfrac{1}{2} CE\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong \(∆ DEA\) ta có \(PQ\) là đường trung bình
\(⇒ PQ = \dfrac{1}{2} DA\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong \(∆ EAB\) ta có \(QR\) là đường trung bình
\(⇒ QR = \dfrac{1}{2} EB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: \(MN = NP = PQ = QR = RM\)
Ta có: \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = \widehat E\) \( = \dfrac{{(5 - 2){{.180}^0}}}{5}\) \(={108^0}\)
\(∆ DPN\) cân tại \(D\)
\( \Rightarrow \widehat {DPN} = \widehat {DNP}\) \(=\dfrac{{{{108}^0} - \widehat D}}{2}\) \(\dfrac{{{{180}^0} - {{108}^{^0}}}}{2}\) \(= {36^0}\)
\(∆ CNM\) cân tại \(C\)
\( \Rightarrow \widehat {CNM} = \widehat {CMN}\) \(=\dfrac{{{{108}^0} - \widehat C}}{2}\)
\(\dfrac{{{{180}^0} - {{108}^{^0}}}}{2}\) \(= {36^0}\)
\(\widehat {ADN} + \widehat {PNM} + \widehat {CNM} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {PNM} \\= {180^0} - \left( {\widehat {ADN} + \widehat {CNM}} \right)\)
\(= {180^0} - \left( {{{36}^0} + {{36}^0}} \right) = {108^0}\)
\(∆ BMR\) cân tại \(B\)
\( \Rightarrow \widehat {BMR} = \widehat {BRM} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}\\ = \dfrac{{{{180}^0} - {{108}^0}}}{2} = {36^0}\)
\(\begin{array}{l}\widehat {CNM} + \widehat {NMR} + \widehat {BMR} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {NMR}\\ = {180^0} - (\widehat {CMN} + \widehat {BMR})\ \\= {180^0} - ({36^0} + {36^0}) = {108^0}\end{array}\)
\(∆ ARQ\) cân tại \(A\)
\(\begin{array}{l}\widehat {{\rm{AR}}Q} = \widehat {AQR} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} \\= \dfrac{{{{180}^0} - {{108}^0}}}{2} = {36^0}\\\widehat {BRM} + \widehat {MRQ} + \widehat {{\rm{AR}}Q} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {MRQ} = {180^0} - (\widehat {BRM} + \widehat {{\rm{AR}}Q})\\ = {180^0} - ({36^0} + {36^0}) = {108^0}\end{array}\)
\(∆ QEP\) cân tại \(E\)
\(\begin{array}{l}\widehat {{\rm{EQ}}P} = \widehat {EPQ} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat E}}{2} \\= \dfrac{{{{180}^0} - {{108}^0}}}{2} = {36^0}\\\widehat {AQR} + \widehat {RQB} + \widehat {{\rm{EQ}}P} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {RQP} = {180^0} - (\widehat {AQR} + + \widehat {{\rm{EQ}}P})\\ = {180^0} - ({36^0} + {36^0}) = {108^0}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\widehat {EPQ} + \widehat {QPN} + \widehat {DPN} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {QPN} = {180^0} - (\widehat {EPQ} + \widehat {DPN})\\ = {180^0} - ({36^0} + {36^0}) = {108^0}\end{array}\)
Suy ra : \(\widehat {PNM} = \widehat {NMR} = \widehat {MRQ} \) \( =\widehat {RQP} = \widehat {QPN}\)
Vậy \(MNPQR\) là ngũ giác đều.
