Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1)\) và \(D(-1 ; 1 ; 2)\)

a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.

b) Viết phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((BCD)\).

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của \((S)\) và mặt phẳng \((BCD)\).

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = (-3; 0; 1)\), \(\overrightarrow {BD} = (-4; -1; 2)\)

Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mp \((BCD)\) thì:

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\)

Mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1; 2; 3)\) có phương trình:

\(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\)

\(\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\)

Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của mp \((BCD)\), ta có:

\(3 + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 ≠ 0\)

Vậy \(A ∉ (BCD)\) \( \Rightarrow \)bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng. Vậy ABCD là một tứ diện.

b) Mặt cầu tâm \(A\), tiếp xúc với mp \((BCD)\) có bán kính bằng khoảng cách từ \(A\) đến mp \((BCD)\): \(r = d (A,(BCD))\) =\({{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu cần tìm: \((S): (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14\)

c) Phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua \(A\) và vuông góc với mp \((BCD)\) là: \(\left\{ \matrix{x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 2t \hfill \cr z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Gọi \(H = d \cap \left( {BCD} \right) \Rightarrow H\left( {3 + t; - 2 + 2t; - 2 + 3t} \right)\)

Thay tọa độ điểm H vào phương trình của \((BCD)\), ta có:

\((3 + t) + 2(-2 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 7 = 0 \)\( \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {4;0;1} \right)\)

Bài Tập và lời giải

Bài 54 trang 47 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho ba tam giác cân \(ABC, DBC, EBC\) chung đáy \(BC.\) Chứng minh rằng ba điểm \(A, D, E\) thẳng hàng.

Xem lời giải

Bài 55 trang 47 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hai điểm \(D, E \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Chứng minh rằng \(∆BDE = ∆CDE.\)

Xem lời giải

Bài 56 trang 47 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho đường thẳng \(d\) và hai điểm \(A, B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ \(d.\) Tìm một điểm \(C \) nằm trên \(d\) sao cho \(C\) cách đều \(A\) và \(B.\)

Xem lời giải

Bài 57 trang 47 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) chia mặt phẳng thành hai phần \(I\) và \(II\) như trên hình 10. Cho điểm \(M\) thuộc phần \(I\) và điểm \(N\) thuộc phần \(II.\) Chứng minh rằng:

a) \(MA < MB\)

b) \(NA > NB\)

Xem lời giải

Bài 58 trang 48 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hình 11. Chứng minh rằng \(AB\) vuông góc với \(CD.\)

Xem lời giải

Bài 59 trang 48 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hai điểm \(A, B\) và một đường thẳng \(d.\) Vẽ đường tròn tâm \(O\) đi qua hai điểm \(A, B\) sao cho \(O\) nằm trên đường thẳng \(d.\)

Xem lời giải

Bài 60 trang 48 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AB.\) Tìm tập hợp các điểm \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) là tam giác cân có đáy là \(AB.\)

Xem lời giải

Bài 61 trang 48 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho góc \(xOy\) bằng \(60°,\) điểm \(A\) nằm trong góc \(xOy.\) Vẽ điểm \(B\) sao cho \(Ox\) là đường trung trực của \(AB.\) Vẽ điểm \(C\) sao cho \(Oy\) là đường trung trực của \(AC.\)

a) Chứng minh rằng \(OB = OC\)

b) Tính số đo góc \(BOC.\)

Xem lời giải

Bài 62 trang 48 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hình 12, \(M\) là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng \(a.\) Vẽ điểm \(C\) sao cho \(a\) là đường trung trực của \(AC.\)

a) Hãy so sánh \(MA + MB\) với \(BC.\)

b) Tìm vị trí của điểm \(M\) trên đường thẳng \(a\) để \(MA + MB\) là nhỏ nhất.

Xem lời giải

Bài 63 trang 48 SBT toán 7 tập 2

Hai nhà máy được xây dựng tại hai điểm \(A\) và \(B\) nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm \(C\) để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ \(C\) đến \(A \) và đến \(B\) là nhỏ nhất.

Xem lời giải

Bài 7.1, 7.2, 7.3 phần bài tập bổ sung trang 48, 49 SBT toán 7 tập 2

Bài 7.1

Trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB,\) lấy hai điểm phân biệt \(M, N.\) Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

\(\left( A \right)\widehat {AMN} \ne \widehat {BMN}\)

\(\left( B \right)\widehat {MAN} \ne \widehat {MBN}\)

\(\left( C \right)\widehat {MNA} \ne \widehat {MNB}\)

\(\left( D \right)\Delta AMN = \Delta BMN\)

Xem lời giải

Bài 7.4, 7.5, 7.6 phần bài tập bổ sung trang 49 SBT toán 7 tập 2

Bài 7.4

Trong tam giác \(ABC,\) hai đường trung trực của hai cạnh \(AB\) và \(AC\) cắt nhau tại điểm \(D\) nằm trên cạnh \(BC.\) Chứng minh rằng: