a) Xét \(\,\Delta ADE \) và \( \Delta ACB\) có:
\( \widehat {ADE} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AB\))
\(\widehat {DAE} = \widehat {CAB}\) (gt)
\( \Rightarrow \,\Delta ADE \backsim \Delta ACB\) (g.g)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE}\\\widehat {CAD} = \widehat {DAE} + \widehat {CAE}\end{array}\)
Mà \(\widehat {BAC} = \widehat {DAE}\) (gt) nên \(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\)
Xét \(\Delta ABE \) và \( \Delta ACD\) có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AD\))
\( \Rightarrow \,\Delta ABE \backsim \Delta ACD\) (g.g).
b) Vì \(\Delta ADE \backsim \Delta ACB\) suy ra \(\dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{CB}}\)
\(\Rightarrow AD.CB = AC.DE\) (1)
Vì \(\Delta ABE \backsim \Delta ACD\) suy ra \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CD}}\)
\(\Rightarrow AB.CD = AC.BE\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(AD.CB + AB.CD\)\(\, = AC.DE + AC.BE\)\(\, = AC.\left( {DE + BE} \right) = AC.BD.\)
