a) Ta tính thể tích hình chóp \(\displaystyle M.ADN\). Hình chóp này có chiều cao bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ANCD) bằng \(\displaystyle a\) và diện tích đáy \(\displaystyle {S_{ADN}} = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {V_{ADMN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}} \) \(\displaystyle = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
b) Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi \(\displaystyle (DMN)\).
Do \(\displaystyle (ABCD) // (A'B'C'D')\) nên \(\displaystyle (DMN)\) cắt \(\displaystyle (A'B'C'D')\) theo một giao tuyến song song với \(\displaystyle DN\). Ta dựng thiết diện như sau:
- Từ \(\displaystyle M\) kẻ đường thẳng song song với \(\displaystyle DN\), đường này cắt cạnh \(\displaystyle A'D'\) tại điểm \(\displaystyle P\) và cắt đường thẳng \(\displaystyle C'B'\) tại điểm \(\displaystyle Q\). Trong mặt phẳng \(\displaystyle (BCC'B')\) thì \(\displaystyle QN\) cắt cạnh \(\displaystyle BB'\) tại điểm \(\displaystyle R\); đa giác \(\displaystyle DNRMP\) chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi \(\displaystyle (DMN)\).
- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện \(\displaystyle ABNDPMR\). Ta có: \({V_{ABNDPMR}} = {V_{M.ABND}} + {V_{M.NRB}} + {V_{M.AA'PD}} \) \(= {V_1} + {V_2} + {V_3}\)
Hình chóp \(\displaystyle M.ABND\), có đường cao bằng \(\displaystyle a\), diện tích đáy là hình thang \(\displaystyle ABND\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 2} + a} \right).a = {{3{a^2}} \over 4}\)
Suy ra: \(\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}.{{3{a^2}} \over 4}.a \Rightarrow {V_1} = {{{a^3}} \over 4}\)
Dễ dàng chứng minh được \(\displaystyle \Delta CND\) và \(\displaystyle \Delta A'PM\) đồng dạng (g.g) nên \(\displaystyle \frac{{A'P}}{{CN}} = \frac{{A'M}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A'P = \frac{1}{2}CN = \frac{a}{4}\)
Hình chóp \(\displaystyle M.AA'PD\) có chiều cao \(\displaystyle {a \over 2}\) và diện tích hình thang \(\displaystyle AA'PD\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 4} + a} \right).a = {{5{a^2}} \over 8}\)
Suy ra: \(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{5{a^2}} \over 8} \Rightarrow {V_2} = {{5{a^2}} \over {48}}\)
Ta có: \(\displaystyle \Delta A'PM = \Delta B'QM \Rightarrow B'Q = A'P\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{{B'R}}{{BR}} = \frac{{B'Q}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BR = \frac{{2a}}{3}\)
Diện tích tam giác \(\displaystyle NRB\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}.{2 \over 3}a.{a \over 2} = {{{a^2}} \over 6}\)
Hình chóp \(\displaystyle M.NRB\) có chiều cao \(\displaystyle {a \over 2}\) và diện tích đáy \(\displaystyle {{{a^2}} \over 6}\) nên:
\(\displaystyle {V_3} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{{a^2}} \over 6} \Rightarrow {V_3} = {{{a^3}} \over {36}}\)
\(\displaystyle {V_{ABNDPMR}} = {V_1} + {V_2} + {V_3} \) \(\displaystyle = {{5{a^3}} \over {48}} + {{{a^3}} \over 4} + {{{a^3}} \over {36}} = {{55{a^3}} \over {144}}\)
Thể tích phần còn lại là: \(\displaystyle {{144{a^3}} \over {144}} - {{55{a^3}} \over {144}} = {{89{a^3}} \over {144}}\)
Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: \(\displaystyle {{55} \over {89}}\)
