Bài 12 trang 53 SGK Hình học 12

Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là \(\displaystyle a, b, c\). Khi đó bán kính \(\displaystyle r\) của mặt cầu bằng:

(A) \(\displaystyle {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);

(B) \(\displaystyle \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \);

(C) \(\displaystyle \sqrt {2({a^2} + {b^2} + {c^2})} \);

(D) \(\displaystyle {{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } \over 3}\).

Gọi \(O\) là tâm của hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có các kích thước \(AB = a;\,\,AD = b;\,\,AA' = c\) thì \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Do đó bán kính của mặt cầu này là \(R = OA = \frac{1}{2}AC'\).

Xét tam giác vuông \(A'B'C'\) có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2} = {a^2} + {b^2}\)

\(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'C' \Rightarrow \Delta AA'C'\) vuông tại A', do đó:

\(\begin{array}{l}AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \\ \Rightarrow R = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array}\)

Chọn (A).