a) TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}\)
\(y' = \dfrac{{ - 2.7 - 3.1}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} < 0,\) \(\forall x \ne - 7\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 7} \right)\) và \(\left( { - 7};+ \infty \right)\).
b) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{ - \left[ {{{\left( {x - 5} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}\) \( = \dfrac{{ - 2\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^4}}}\) \( = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} > 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^3} < 0 \Leftrightarrow x < 5\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\).
\(y' < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} < 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^3} > 0 \Leftrightarrow x > 5\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\).
c) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 3} \right\}\)
\(y' = \dfrac{{\left( {2x} \right)'.\left( {{x^2} - 9} \right) - 2x.\left( {{x^2} - 9} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 9} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{x^2} - 18}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{ - 2\left( {{x^2} + 9} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 9} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right),\left( { - 3;3} \right),\left( {3; + \infty } \right)\).
d)TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^4} + 48} \right)'.x - \left( x \right)'.\left( {{x^4} + 48} \right)}}{{{x^2}}}\) \( = \dfrac{{4{x^3}.x - {x^4} - 48}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3{x^4} - 48}}{{{x^2}}}\) \( = \dfrac{{3\left( {{x^4} - 16} \right)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).
e) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)'\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 2x - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 5 = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 6 \)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1 - \sqrt 6 ),( - 1 + \sqrt 6 ; + \infty )\)
và nghịch biến trên các khoảng \(( - 1 - \sqrt 6 ; - 1), ( - 1; - 1 + \sqrt 6 )\)
g) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)'\left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
