Trong \(∆ BDC\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(BD\) (gt)
\(F\) là trung điểm của \(BC\) (gt)
nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ BDC\)
\(⇒ EF // DC\)
hay \(EF // AG\)
Suy ra: Tứ giác \(AEFG\) là hình thang
\(G\) là trung điểm của \(DC\) (gt)
nên \(FG\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)
\(⇒ FG // BD\) \(⇒ {\widehat G_1} = {\widehat D_1}\) (đồng vị) (1)
Trong tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) có \(AE\) là trung tuyến thuộc cạnh huyền \(BD\)
\(⇒ AE = ED = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất tam giác vuông)
nên \(∆ AED\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat D_1}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({\widehat A_1} = {\widehat G_1}\)
Vậy hình thang \(AEFG\) là hình thang cân (theo định nghĩa).
