Phương pháp:
- Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
Lời giải:
a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Bài 12.2
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(A) Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.
(B) Tích của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.
(C) Tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.
(D) Thương của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.
Phương pháp:
- Tổng của hai số vô tỉ có thể bằng \(0\)
- Tích hai số vô tỉ có thể là một số hữu tỉ.
- Thương hai số vô tỉ có thể là một số hữu tỉ.
Lời giải:
A sai, ví dụ: \(\sqrt 2 + \left( { - \sqrt 2 } \right) = 0\)
B sai, ví dụ: \(\sqrt 3 .\left( { - \sqrt 3 } \right) = - 3\)
D sai, ví dụ: \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 7 }} = 1\)
Chọn (C).
Bài 12.3
Thương của một số vô tỉ và một số hữu tỉ là một số vô tỉ hay số hữu tỉ?
Phương pháp:
Tích của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ.
Gọi \(a\) là số vô tỉ, \(b\) là số hữu tỉ.
Ta có \(\displaystyle {a \over b}\) là số vô tỉ vì nếu \(\displaystyle {a \over b} = b'\) là số hữu tỉ thì \(a = b . b'\) suy ra \(a\) là số hữu tỉ, trái với giả thiết \(a\) là số vô tỉ.
Bài 12.4
Tích của một số vô tỉ và một số hữu tỉ khác \(0\) là một số vô tỉ hay hữu tỉ?
Phương pháp:
Thương của \(\dfrac{x}{y}\,\left( {x,y \in \mathbb Q;\,\,y \ne 0} \right)\) là một số hữu tỉ.
Lời giải:
Gọi \(a\) là số vô tỉ, \(b\) là số hữu tỉ khác \(0\).
Tích \(ab\) là số vô tỉ vì nếu \(ab = b'\) là số hữu tỉ thì \(a =\displaystyle {{b'} \over b}\) suy ra \(a\) là số hữu tỉ, mâu thuẫn với đề bài \(a\) là số vô tỉ.
Bài 12.5
Cho \(x > y > 0.\) Chứng minh rằng \({x^3} > {y^3}\).
Phương pháp:
\(\left. \begin{array}{l}
a < b\\
b < c
\end{array} \right\} \Rightarrow a < c\)
Lời giải:
Từ \(x > y > 0\) ta có:
\(x > y \Rightarrow xy > {y^2}\) (1)
\(x > y \Rightarrow {x^2} > xy\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \({x^2} > {y^2}\).
\({x^2} > {y^2} \Rightarrow {x^3} > x{y^2}\) (3)
\(x > y \Rightarrow x{y^2} > {y^3}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \({x^3} > {y^3}\).
Bài 12.6
Chứng minh rằng nếu số tự nhiên \(a\) không phải là số chính phương thì \(\sqrt a\) là số vô tỉ.
Phương pháp:
Chứng minh phản chứng: Ta giả sử \(\sqrt a\) là số hữu tỉ.
Lời giải:
Giả sử \(\sqrt a\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt a\) viết được thành \(\sqrt a = \displaystyle {m \over n}\) với \(m, n ∈\mathbb N, n ≠ 0\) và \(ƯCLN (m, n) = 1\).
Do \(a\) không phải là số chính phương nên \(\displaystyle {m \over n}\) không phải là số tự nhiên, do đó \(n > 1\).
Ta có \({m^2} = a{n^2}\). Gọi \(p\) là một ước nguyên tố của \(n\) thì \(m^2\,⋮\, p\), do đó \(m\, ⋮\, p\).
Như vậy \(p\) là ước nguyên tố của \(m\) và \(n\), trái với giả thiết \(ƯCLN (m, n) = 1\).
Vậy \(\sqrt a\) là số vô tỉ.
