a. Xét tứ giác \(ADHE:\)
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì \(HD ⊥ AB\))
\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì \(HE ⊥ AC\))
Suy ra tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
\(⇒ AH = DE\) (tính chất hình chữ nhật)
b. \(∆ BHD\) vuông tại \(D\) có \(DI\) là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền \(BH\)
\(⇒ DI = IB\) \(= \dfrac{1}{2} BH\) (tính chất tam giác vuông)
\(⇒ ∆ IDB\) cân tại \(I\) \( \Rightarrow \widehat {DIB} = {{{180}^0} - 2\widehat B} \) (1)
\(∆ HEC\) vuông tại \(E\) có \(EK\) là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền \(HC\)
\(⇒ EK = KH = \dfrac{1}{2}HC\) (tính chất tam giác vuông)
\(⇒ ∆ KHE\) cân tại \(K\) \( \Rightarrow \widehat {EKH} = {{{180}^0} - 2\widehat {KHE}}\) (2)
Tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật
\(⇒ HE // AD\) hay \(HE // AB\)
\( ⇒\) \(\widehat B = \widehat {KHE}\) (đồng vị) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {DIB} = \widehat {EKH}\)
\(⇒ DI // EK\) (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
