a. \(AH ⊥ BC\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {HAB} + \widehat B = {90^0}\)
\(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) (vì ∆ ABC có\(\widehat A = {90^0}\))
Suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat C\) (1)
\(∆ ABC\) vuông tại \(A\) có \(AM\) là trung tuyến thuộc cạnh huyền \(BC\)
\(⇒ AM = MC = \dfrac{1}{2} BC\) (tính chất tam giác vuông)
\(⇒ ∆ MAC\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C\) (tính chất tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)
b. xét tứ giác ADHE có:
\(\widehat A = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì \(HD ⊥ AB\))
\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì \(HE ⊥ AC\))
Suy ra: Tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
\(⇒ ∆ ADH = ∆ EHD \,(c.c.c)\)
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {HED}\)
\(\widehat {HED} + {\widehat E_1} = \widehat {HEA} = {90^0}\)
Suy ra: \({\widehat E_1} + {\widehat A_1} = {90^0}\)
\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow {\widehat E_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\)
Trong \(∆ AIE\) ta có:
\(\widehat {AIE} = {180^0} - \left( {{{\widehat E}_1} + {{\widehat A}_1}} \right)\) \(= {180^0} - {90^0} = {90^0}\)
\(\Rightarrow \) \(AM ⊥ DE.\)
