Kẻ \(AH ⊥ BC,\) \(IK ⊥ BC\)
\(⇒ AH // IK\)
Trong tam giác \(AHM\) ta có:
\(⇒ AI = IM\;\; (gt)\)
\(IK // AH\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(IK\) là đường trung bình của \(∆ AHM\)
\(⇒ IK = \displaystyle {1 \over 2}AH\)
\(∆ ABC\) cố định nên \(AH\) không thay đổi \(⇒ IK = \displaystyle {1 \over 2}AH\) không đổi.
\(I\) thay đổi cách \(BC\) một khoảng bằng \(\displaystyle {{AH} \over 2}\) không đổi nên \(I\) nằm trên đường thẳng song song với \(BC,\) cách \(BC\) một khoảng bằng\(\displaystyle {{AH} \over 2}\).
Khi \(M\) trùng với điểm \(B\) thì \(I\) trùng với \(P\) là trung điểm của \(AB.\)
Khi \(M\) trùng với điểm \(C\) thì \(I\) trùng với \(Q\) là trung điểm của \(AC.\)
Vậy khi \(M\) chuyển động trên cạnh \(BC\) của \(∆ ABC\) thì trung điểm \(I\) của \(AM\) chuyển động trên đường trung bình \(PQ\) của \(∆ ABC.\)
