\(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB//CD;\;AD//BC\)
Vì \(FG// AD\) (gt) nên suy ra \(EG//KC\)
Vì \(HK//DC\) (vì cùng song song với \(AB\)) nên suy ra \(EK//GC\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(EKCG\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Mặt khác, \(\widehat {GCK} = {90^0}\) (gt) do đó \(EKCG\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Tương tự ta cũng chứng minh được \(AHEF\) là hình chữ nhật.
Xét \(\Delta ECG\) và \(\Delta CEK\) có:
+) \(EG=KC\) (vì \(EKCG\) là hình chữ nhật)
+) \(EC\) chung (gt)
+) \(EK=CG\) (vì \(EKCG\) là hình chữ nhật)
\(\Rightarrow \Delta ECG = \Delta CEK\) (c-c-c)
Do đó: \({S_{ECG}} = {S_{CEK}}\) (1) (Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau)
Tương tự:
\(ABCD\) là hình chữ nhật ta có:
\({S_{ ADC}} = {S_{CBA}}\) (2)
\(AHEF\) là hình chữ nhật ta có:
\({S_{AHE}} = {S_{ EFA}}\) (3)
\(\eqalign{
& {S_{ADC}} = {S_{AHE}} + {S_{EGDH}} + {S_{ECG}} \cr
& {S_{CBA}} = {S_{EFA}} + {S_{EFBK}} + {S_{CEK}} \cr} \)
Từ (2) \(\Rightarrow {S_{AHE}} + {S_{EGDH}} + {S_{ECG}} = {S_{EFA}} \)\(+ {S_{EFBK}} + {S_{CEK}}\)
Từ (1) và (3) \(\Rightarrow {S_{EGDH}} = {S_{EFBK}}\)
