a. \(\displaystyle{P \over Q} = {R \over S}\)
\( \Rightarrow PS = QR\) (1)
Vì \(\displaystyle{P \over Q},{R \over S}\) là phân thức nên \(Q, S\ne 0\).
Cộng vào hai vế của đẳng thức (1) với \(Q S\) ta được:
\(P S + Q S = Q R + Q S \)
\(⇒ S(P + Q) = Q (R + S)\)
\(⇒ \displaystyle {{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\)
b. \(\displaystyle {P \over Q} = {R \over S}\)
\(⇒ P S = Q R \) (2) và \(P ≠ Q, R ≠ S\)
Trừ từng vế đẳng thức (2) với \(PR\) ta được :
\(P S - P R = Q R - P R\)
\(⇒ P (S - R) = R (Q -P) \)
\(⇒ \displaystyle {P \over {Q - P}} = {R \over {S - R}}\).
