a) Gọi \(P\) là trung điểm của \(AD\), nối \(PM.\)
Xét \(\Delta DAB\) có:
\(\displaystyle{{PA} \over {AD}} = {1 \over 2};{{BM} \over {BD}} = {1 \over 2}\)
\(\displaystyle\Rightarrow {{PA} \over {AD}} = {{BM} \over {BD}}\)
Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có \( PM // AB\) (1)
Xét \(\Delta ACD\) có: \(\displaystyle{{AP} \over {AD}} = {1 \over 2};{{AN} \over {AC}} = {1 \over 2}\)
\(\Rightarrow \displaystyle{{AP} \over {AD}} = {{AN} \over {AC}}\)
Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có \(PN // CD\) (2)
\(AB//CD\) (gt) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(PM//AB\) và \(PN//AB\)
Qua \(P\) có hai đường thẳng \(PN\), \(PM\) cùng song song với \(AB\), theo tiên đề Ơ-clít thì \(PN \equiv PM\) hay \( P, M, N\) thẳng hàng.
Vậy \( MN // AB\).
b) Vì \(PM\) là đường trung bình của tam giác \(DAB\) nên ta có:
\(\displaystyle PM = {{AB} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)
Vì \(PN\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\) nên ta có:
\(\displaystyle PN = {{CD} \over 2}\) (tính chất đường trung bình tam giác)
Vậy \(MN = PN - PM\) \(\displaystyle= {{CD} \over 2} - {{AB} \over 2} = {{CD - AB} \over 2}\)
