Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA\) của hình chữ nhật \(ABCD.\)
Kẻ đường chéo \(AC.\)
- Trong \(∆ ABC\) ta có:
\(E\) là trung điểm của \(AB\)
\(F\) là trung điểm của \(BC\)
nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ ABC\)
\(⇒ EF // AC\) và \(EF =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AC\) (tính chất đường trung bình tam giác) (1)
- Trong \(∆ ADC\) ta có:
\(H\) là trung điểm \(AD\)
\(G\) là trung điểm \(DC\)
nên \(HG\) là đường trung bình của \(∆ ADC.\)
\(⇒ HG // AC\) và \(HG =\) \(\displaystyle {1 \over 2}\)\(AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(EF // HG\) và \(EF = HG\)
Suy ra tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
- Xét \(∆ AEH\) và \(∆ DGH:\)
\(AH = DH\) (gt)
\(\widehat {EAH} = \widehat {GDH} = {90^0}\)
\(AE = DG\) (vì \(AB = CD\))
Do đó: \(∆ AEH = ∆ DGH\, (c.g.c)\) \(⇒ HE = HG\) (hai cạnh tương ứng)
Vậy hình bình hành \(EFGH\) là hình thoi (vì có hai cạnh kề bằng nhau)
