a) Vì \(AD\) là đường kính của đường tròn tâm \(O\) nên \(BD \bot AB,DC \bot AC\).
Ta có \(CH \bot AB,BH \bot AC\)nên suy ra \(CH // BD\) và \(BH // DC\).
Vậy tứ giác \(HCDB\) là hình bình hành.
b) Vì \(O\) là trung điểm của \(AD\) nên \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} \) (1)
Vì tứ giác \(HCDB\) là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \) (3)
Theo quy tắc ba điểm, từ (3) suy ra \(\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \)
Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \) (4).
c) \(G \) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \).
Từ (4) suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \). Vậy ba điểm \(O, H, G\) thẳng hàng.
Nhận xét :
Trong một tam giác trực tâm \(H\), trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O\) thẳng hàng.
