Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r\), \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\).
Giả sử đường thẳng đã dựng được. Khi đó \(DA = AB = BC\) nên \(D = {D_A}\left( B \right)\).
Mà \(B \in \left( C \right)\) nên \(D \in \left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng qua tâm \(A\).
Lại có \(D \in \left( C \right)\) (giả thiết) nên \(D = \left( {C'} \right) \cap \left( {{C_1}} \right)\).
Từ đó ta có cách dựng:
+) Dựng ảnh \(\left( {C'} \right)\) của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(A\).
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) không cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) thì không có điểm \(C,D\) thỏa mãn bài toán.
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc \(\left( {{C_1}} \right)\) tại duy nhất một điểm thì có một cặp điểm \(C,D\) thỏa mãn bài toán.
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại hai điểm phân biệt thì có hai cặp điểm \(C,D\) thỏa mãn bài toán.
