Gọi \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\) là phép quay tâm \(G\) góc \({120^0}\).
Phép quay này biến \(b\) thành \(a\), biến \(CA\) thành \(AB\).
Mà \(P = b \cap CA,N = a \cap AB\) nên \({Q_{\left( {G,{{120}^0}} \right)}}\left( P \right) = N\).
Tương tự \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\left( Q \right) = M\) suy ra \(GP = GN,GQ = GM\).
\( \Rightarrow \Delta GNQ = \Delta GPM \Rightarrow NQ = PM\)
Vì \({Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}\) biến \(PQ\) thành \(NM\) nên \(PQ = NM\).
Từ đó suy ra hai tam giác \(NQM\)và \(PMQ\) bằng nhau. Do đó \(\widehat {NQM} = \widehat {PMQ}\).
Tương tự \(\widehat {QNP} = \widehat {MPN}\).
Từ đó suy ra \(\widehat {PNQ} + \widehat {NQM} = {180^0}\)
Do đó \(NP\parallel QM\). Vậy ta có tứ giác \(MPNQ\) là hình thang cân.
