a) Ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tứ giác \(ABEF\) có \(\widehat {ABE} + \widehat {AFE} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên tứ giác \(ABEF\) nội tiếp được.
Tứ giác \(DCEF\) có \(\widehat {DCE} + \widehat {DFE} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) nên tứ giác \(DCEF\) nội tiếp được.
b) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ \(AB\)) (1)
\(\widehat {{C_2}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DCEF\)) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\).
Vậy \(CA\) là tia phân giác của góc \(BCF\).
c) \(\Delta DEF\) vuông tại \(F\) có \(FM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(FM=MD=ME=\dfrac{1}{2}DE\).
\( \Rightarrow \Delta DMF\) cân tại \(M\).
\(\Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {MFD}\) (tính chất tam giác cân).
\(\widehat {BMF}\) là góc ngoài tại đỉnh \(M\) của \(\Delta DMF\) nên:
\(\widehat {BMF} = \widehat {{D_1}} + \widehat {MFD} = 2\widehat {{D_1}}\) (3)
Theo câu b) ta có: \(\widehat {BCF} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 2\widehat {{D_1}}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {BMF} =\widehat {BCF}\).
Vậy \(C\) và \(M\) cùng nhìn \(BF\) dưới một góc bằng nhau nên tứ giác \(BCMF\) nội tiếp được.
