Gọi số đo cạnh góc vuông \(AB\) là \(x,0 < x < \dfrac{a}{2}\) (vì \(AB + AC = a,AB < AC\))
Khi đó, cạnh huyền \(BC = a-x\), cạnh góc vuông còn lại là: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{(a - x)}^2} - {x^2}} \)
Hay \(AC = \sqrt {{a^2} - 2ax} \)
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S(x) = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{a^2} - 2ax} \)
\(S'(x) = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} - 2ax} - \dfrac{1}{2}\dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} - 2ax} }}\)\( = \dfrac{{a(a - 3x)}}{{2\sqrt {{a^2} - 2ax} }}\)
\(S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{3}\)
Bảng biến thiên:
Tam giác có diện tích lớn nhất khi \(AB = \dfrac{a}{3};BC = \dfrac{{2a}}{3}\).
